Electromagnetisme

Camp elèctric

La llei de Coulomb

El motor de Franklin

Camp i potencial
d'una càrrega puntual

Camp i potencial
de dues càrregues

Dipol elèctric

Línia de càrregues
Llei de Gauss

Model atòmic de
  Kelvin-Thomson

La cubeta de Faraday
Conductors

Generador de
Van de Graaff

Conductors (II)

Càrrega induïda
en un conductor

Esfera conductora en
un camp uniforme

Un pèndol que
descarrega un
condensador

Mètode de les
imatges

Potencial a una distància r del centre de l'esfera carregada

Energia potencial d'una distribució de càrregues

Energia total de l'àtom de Kelvin-Thomson

Moviment de l'electró en l'àtom de Kelvin-Thomson

Activitats

Actualment, els llibres de text no solen esmentar l'àtom de Kelvin-Thomson. Tanmateix, durant el període que va del 1902 al 1906 va tenir bastant èxit, fins que Rutherford va demostrar que aquest model no podia explicar la dispersió de les partícules alfa pels àtoms d'una làmina d'or.

Aquest model simple d'àtom explicava bastant bé la valència química, l'emissió de partícules b pels nuclis d'elements radioactius, etc.

L'aspecte didàctic més important és l'aplicació de la llei de Gauss a una distribució esfèrica i uniforme de càrrega, i la descripció del moviment oscil·latori dels electrons en aquest àtom.

Considerem el cas més senzill, un àtom o ió hidrogenoide amb un sol electró. Suposem que l'àtom té forma esfèrica de radi R i que la càrrega positiva Q està uniformement distribuïda en aquesta esfera.

El teorema de Gauss afirma que el flux del camp elèctric a través d'una superfície tancada és igual al quocient entre la càrrega a l'interior de la superfície dividit per e₀

Per a una distribució esfèrica i uniforme de càrrega l'aplicació del teorema de Gauss requereix les passes següents:

1.- A partir de la simetria de la distribució de càrrega, determineu la direcció del camp elèctric.

La distribució de càrrega té simetria esfèrica, la direcció del camp és radial.

2.- Triar una superfície tancada apropiada per a calcular el flux Prenem com a superfície tancada una esfera de radi r. El camp elèctric E és paral·lel al vector superfície dS i el camp és constant en tots els punts de la superfície esfèrica, com es veu en la figura, per la qual cosa,

El flux total és   E·4p r²

3.- Determineu la càrrega que hi ha en l'interior de la superfície tancada.

•  Per a r < R (figura de l'esquerra)

Si estem calculant el camp en l'interior de l'esfera uniformement carregada, la càrrega que hi ha en l'interior de la superfície esfèrica de radi r és una part de la càrrega total (en color rosa), que es calcula multiplicant la densitat de càrrega pel volum de l'esfera de radi r,

•  Per a r > R (figura de la dreta)

Si estem calculant el camp en l'exterior de l'esfera uniformement carregada, la càrrega que hi ha en l'interior de la superfície esfèrica de radi r és la càrrega total q = Q.

4.- Apliqueu el teorema de Gauss i aïlleu el mòdul del camp elèctric

S'obté

El camp en l'exterior d'una esfera carregada amb càrrega Q té la mateixa expressió que el camp produït per una càrrega puntual Q situada en el seu centre.

S'anomena potencial en un punt P a una distància r del centre de l'esfera carregada V(r) a la diferència de potencial que hi ha entre el punt P i l'infinit, V(r) - V(¥ ). Per conveni, s'estableix que en l'infinit l'energia potencial és zero.

Representem el mòdul del camp elèctric E en funció de la distància r al centre de l'esfera carregada. És una funció que té una derivada discontínua en r = R.

•   r > R. Per a trobar el potencial en un punt P que està fora de l'esfera carregada només cal trobar l'àrea ombrejada (figura de la dreta)

•  r < R. Per a calcular el potencial en un punt P de l'interior de l'esfera carregada s'han de sumar dues àrees, per ser diferent la funció que descriu la dependència del camp E amb r (figura de l'esquerra)

L'energia d'ionització d'un àtom és l'energia mínima necessària per a extraure l'electró situat en l'origen de l'esfera carregada i dur-lo fins l'infinit,

Per a un àtom amb un electró, q = Q = e = 1.6·10^-19 C, R » 10^-10 m, W₁ = 3.456 10^-18 J = 21.6 eV,

valor que és un poc major que l'energia d'ionització de l'electró en un àtom d'hidrogen en l'estat fonamental, 13.6 eV.

Energia potencial d'una distribució de càrregues

Calculem ara l'energia necessària per a formar la distribució uniforme de càrrega positiva. O bé, l'energia que s'alliberaria quan la distribució uniforme de càrrega positiva exclatara, de manera que cada part estiguera a una distància infinita de l'altra.

Determinarem l'expressió de l'energia d'un sistema de tres càrregues i la generalitzarem per a una distribució contínua de càrrega.

Considerem un sistema de tres càrregues puntuals fixes q₁, q₂ i q₃, com indica la figura.

L'energia U  d'aquest sistema val

Si designem ambV₁ el potencial produït per les càrregues q₂ i q₃ en la posició que ocupa q₁, l'energia de la càrrega q₁ en el camp produït per les altres dues és

Anàlogament, siV₂ és el potencial produït per les càrregues q₁ i q₃ en la posició que ocupa q₂, l'energia de la càrrega q₂ en el camp produït per les altres dues és

De la mateixa manera, si V₃ és el potencial produït per les càrregues q₁ i q₂ en la posició que ocupa q₃, l'energia de la càrrega q₃ en el camp produït per les altres dues és

Sumant aquestes tres contribucions obtenim el doble de l'energia del sistema de partícules,

Energia de l'esfera carregada

Tornem a l'esfera uniformement carregada. El potencial V_i se substitueix pel potencial en la posició r, V(r) que hem calculat prèviament.

La càrrega q_i se substitueix per la càrrega que hi ha en la capa esfèrica compresa entre r i r+dr. El volum d'aquesta capa esfèrica és 4p r²dr, i la càrrega que hi ha en aquest volum val (densitat de càrrega per volum),

L'energia és, aleshores,

Energia total de l'àtom de Kelvin-Thomson

L'energia total del nostre model d'àtom d'hidrogen, Q = q = e, és la diferència entre dues energies:

•  l'energia necessària per a formar la distribució uniforme de càrrega positiva W₂
•  l'energia necessària per a extraure l'electró de l'atracció d'aquesta càrrega W₁ (energia d'ionització)

Suposem que l'electró es pot moure lliurement en l'interior de la distribució esfèrica de càrrega positiva. En un instant donat es troba a una distància x del centre d'aquesta distribució.

Aplicant la llei de Gauss (r < R) hem obtingut l'expressió del camp elèctric creat per la distribució de càrrega positiva a la distància r = x del centre. Aquest camp té direcció radial i sentit cap a fora.

La força sobre l' electró és el producte de la càrrega pel camp. Té direcció radial i sentit (atractiu) cap al centre de la distribució de càrrega positiva, Com veiem, la força és proporcional al desplaçament x i de sentit contrari a aquest. Una clara indicació de que l'electró descriurà un M.H.S.

la freqüència angular del qual val

Per a un àtom amb un electró, q = Q = e = 1.6·10^-19 C, R » 10^-10 m, i m = 9.1 10^-31 kg, s'obté f = 2pw = 2.53 10¹⁵ Hz. Quan un electró passa del primer estat excitat l'estat fonamental emet radiació de freqüència 2.47 10¹⁵ Hz, que és de l'ordre de la freqüència del seu Moviment Harmònic Simple.

Un problema completament anàleg és el moviment d'un cos al llarg d'un túnel excavat en la Terra, suposada una distribució esfèrica i uniforme de massa.

En la miniaplicació (applet) es mostra com un electró (cercle de color blau) descriu un M.H.S. en l'interior d'una distribució esfèrica i uniforme de càrrega positiva.

S'introdueix

•  la càrrega de l'àtom o de l'ió hidrogenoide Q (en unitats de la càrrega de l'electró) en el control de selecció càrrega;
•  el radi de l'àtom o ió hidrogenoide R (en àngstroms) en el control de selecció Radi.

Es pitja el botó Comença.

Exemple: El quadrat de la freqüència angular ω és

•   Per a Q = 1 i R = 1 el període és P = 2π/ω = 3.94·10^-16 s i la freqüència f = 1/P = 2.53·10¹⁵ Hz

•  Per a Q = 4 i R = 0.5 el període és P = 0.07·10^-15 s i la freqüència f = 14.3·10¹⁵ Hz

A la dreta de l'applet es representa la posició de l'electró en funció del temps. A partir de les mesures efectuades en la gràfica en podem determinar aproximadament el període. El temps obtingut s'ha de multiplicar pel factor 10^-15 s.

Les equacions del moviment són

x = x₀·sin(w t+j)
v = w x₀·cos(w t+j)

Com que l'electró s'amolla en la posició inicial x₀ amb velocitat nul·la, v = 0, l'equació del MAS és  x = x₀·cos(w t). La posició inicial de l'electró s'ha pres arbitràriament igual a les tres quartes parts del radi de l'àtom, x₀ = 3R/4.