Electromagnetisme

Camp elèctric

La llei de Coulomb

El motor de Franklin

Camp i potencial
d'una càrrega puntual

Camp i potencial
de dues càrregues

Dipol elèctric

Línia de càrregues
Llei de Gauss

Model atòmic de
Kelvin-Thomson

La cubeta de Faraday
Conductors

Generador de
  Van de Graaff

Conductors (II)

Càrrega induïda
en un conductor

Esfera conductora en
un camp uniforme

Un pèndol que
descarrega un
condensador

Mètode de les
imatges

Camp produït per un conductor esfèric carregat

Potencial de l'esfera conductora

Potència del motor que mou la corretja

Força electromotriu

Activitats

Referències

Quan s'introdueix un conductor carregat dins d'un altre que està buit i es posen en contacte, tota la càrrega del primer passa al segon, siga la que siga la càrrega inicial del conductor buit.

Teòricament, el procés es podria repetir moltes vegades, augmentant la càrrega del conductor buit indefinidament. De fet, hi ha un límit degut a les dificultats d'aïllament de la càrrega. Quan s'eleva el potencial, l'aire que rodeja el conductor es fa conductor i es comença a perdre càrrega.

La diferència entre la cubeta de Faraday i el generador de Van de Graaff és que, en la primera, la càrrega s'introdueix de forma discreta mentre que en el segon s'introdueix en el conductor buit de forma contínua mitjançant una cinta transportadora.

El generador de Van de Graaff

Van de Graaff va inventar el generador que du el seu nom el 1931, amb el propòsit de produir una diferència de potencial molt elevada (de l'ordre de 20 miliones de volts) per a accelerar partícules carregades que es feien xocar contra blancs fixes. Els resultats de les col·lisions ens informen de les característiques dels nuclis del material que constitueix el blanc.

El generador del Van de Graaff és un generador de corrent constant, mentre que la bateria és un generador de voltatge constant: el que canvia és la intensitat, segons els aparells que s'hi connecten.

El generador de Van de Graaff és molt simple: consta d'un motor, dues politges, una corretja o cinta, dos pintes o terminals fetos de fils fins de coure i una esfera buïda on s'acumula la càrrega transportada per la cinta.

En la figura es mostra un esquema del generador de Van de Graaff. Un conductor metàl·lic buit, A, de forma aproximadamente esfèrica, està sostingut per soports aïllants de plàstic, caragolats en un peu metàl·lic, C, connectat a terra. Una corretja o cinta de goma (no conductora) D, es mou entre dues politges,  E i F. La politja F s'acciona mitjançant un motor elèctric. Dues pintes, G i H, estan fetes de fils conductores molt fins i estan situades a l'altura de l'eix de les politges. Les puntes de les pintes estan molt pròximes però no toquen la cinta.

La branca esquerra de la cinta transportadora es mou cap a dalt, transporta un flux continu de càrrega positiva cap al conductor buit A. En arribar a G, i degut a la propietat de les puntes, es crea un camp suficientement intens per a ionitzar l'aire situat entre la punta G i la cinta. L'aire ionitzat proporciona el mitjà perquè la càrrega passe de la cinta a la punta G i, a continuació, al conductor buit A degut a la propietat de les càrregues que s'introdueixen en l'interior d'un conductor buit (cubeta de Faraday).

Funcionament del generador de Van de Graaff

Hem estudiat qualitativament com es produeix l'electricitat estàtica quan es posen en contacte dos materials no conductors. Ara explicarem com adquireix la cinta la càrrega que transporta fins el terminal esfèric.

En primer lloc, s'electrifica la superfície de la politja inferior F, degut a que la superfície de la politja i la cinta estan fetes de materials diferents. La cinta i la superfície del corró adquireixen càrregues iguals i de signe contrari. Tanmateix, la densitat de càrrega és molt major en la superfície de la politja que en la cinta perquè les càrregues s'estenen per una superfície molt major. Suposem que hem triat els materials de la cinta i de la superfície del corró de manera que la cinta adquirisca un càrrega negativa i la superfície de la politja una càrrega positiva, com es veu a la figura.

Si una aulla metàl·lica es col·loca a prop de la superfície de la cinta, a l'altura del seu eix, es produeix un camp elèctric intens entre la punta de l'aulla i la superfície de la politja. Les molècules d'aire en l'espai entre els dos elements es ionitza i creao un pont conductor pel qual circulen les càrregues des de la punta metàl·lica cap a la cinta. Les càrregues negatives són atretes cap a la superfície de la politja, però en mig del camí s'hi troba la cinta i es depositen en la seua superfície; així cancel·len parcialment la càrrega positiva de la politja. Però la cinta es mou cap a dalt, i el procés comença de nou.

La politja superior, E, actua en sentit contrari a la inferior, F. No pot estar carregada positivament. Haurà de tenir una càrrega negativa o ser neutra (perquè la superfície de la politja és metàl·lica).

Hi ha la possibilitat de canviar la polaritat de les càrregues que transporta la cinta canviant els materials de la politja inferior i de la cinta. Si la cinta està feta de goma i la politja inferior està feta de niló cobert amb una capa de plàstic, en la politja es crea una càrrega negativa i en la goma positiva. La cinta transporta cap a dalt la càrrega positiva. Aquesta càrrega, com ja s'ha explicat, passa a la superfície del conductor buit.

Si s'usa un material neutre en la politja superior, E, la cinta no transporta càrregues cap a baix. Si s'usa niló en la politja superior, la cinta transporta càrrega negativa cap a baix; aquesta càrrega ve del conductor buit. D'aquesta manera, la cinta carrega positivament el conductor buit tant en el seu moviment ascendent com en el descendent.

Les característiques del generador de Van de Graaff del qual disposem en el laboratori de Física de la EUITI d'Eibar són les següents:

•  diàmetre de l'esfera conductora, 21 cm;
•  capacitat, 15 pF;
•  tensió màxima, 150 - 200 kV;
•  corrent màxim, 6 mA.

Camp produït per un conductor esfèric carregat

El teorema de Gauss afirma que el flux del camp elèctric a través d'una superfície tancada és igual al quocient de la càrrega de l'interior de la superfície dividida per e₀,

Considerem una esfera buïda de radi R, carregada amb una càrrega Q. L'aplicació del teorema de Gauss requereix les passes següents:

1.- A partir de la simetria de la distribució de càrrega, determineu la direcció del camp elèctric

La distribució de càrrega té simetria esfèrica; per tant, la direcció del camp és radial.

2.- Trieu una superfície tancada apropiada per a calcular el flux

Prenem com a superfície tancada una esfera de radi r.

El camp E és paral·lel al vector superfície dS, i el camp és constant en tots els punts de la superfície esfèrica ; per tant,

El flux total és  E·4p r².

3.- Determineu la càrrega que hi ha en l'interior de la superfície tancada

•  r < R: no hi ha càrrega en l'interior de l'esfera de radi r < R, q = 0.

•  r > R: si estem calculant el camp en l'exterior de l'esfera carregada, la càrrega que hi ha en l'interior de la superfície esfèrica de radi r és la càrrega total, q =Q.

4.- Apliqueu el teorema de Gauss i ailleu el mòdul del camp elèctric

En la figura es mostra la representació del mòdul del camp elèctric E en funció de la distància radial r.

El camp en l'exterior de l'esfera conductora carregada amb càrrega Q té la mateixa expressió que el camp produït per una càrrega puntual Q situada en el seu centre.

Potencial de l'esfera conductora

S'anomena potencial a la diferència de potencial entre un punt P a una distància r del centre de l'esfera i l'infinit.

Com que el camp en l'interior de l'esfera conductora és zero, el potencial és constant en tots els seus punts. El potencial en la superfície de l'esfera és l'àrea ombrejada (figura de la dreta):

S'anomena capacitat de l'esfera (més avant definirem aquesta magnitud) al quocient entre la càrrega de l'esfera i el potencial de l'esfera, C = Q / V = 4p e₀R.

Suposem que la diferència de potencial entre el conductor buit del generador de Van de Graaff i el punt de la corretja sobre el qual s'escampen les càrregues és V. Si la corretja proporciona càrrega positiva a l'esfera a raó de i ampers, determineu la potència necessària per a moure la politja en contra de les forces elèctriques.

El treball que s'ha de fer per a què una càrrega dq positiva passe d'un lloc on el potencial és zero a un altre on el potencial és V és dW = V·dq La potència és

Per al generador de Van de Graaff del nostre laboratori, que transporta en la corretja una càrrega màxima de 6 mC en cada segon, des d'un potencial 0 a un potencial màxim de 200 kV, la potència serà P = 200·10³·6·10^-6= 1.2 W.

L'aigua que abasteix una ciutat baixa espontàniament des d'un dipòsit situat en el cim d'un tossal. Ara bé, per a mantenir el nivell del dipòsit cal emplenar-lo a mesura que l'aigua es consumeix. Un motor connectat a una bomba pot elevar l'aigua des d'un riu proper fins al dipòsit.

En una pista d'esquí, els remuntadors mecànics pugen els esquiadors fins l'alt del tossal; després, els esquiadors baixen lliscant pendent avall. Els esquiadors equivalen als portadors de càrrega, el remuntador mecànic incrementa l'energia potencial de l'esquiador. Després, l'esquiador baixa lliscant pel tossal fins la base.

En un conductor els portadors de càrrega (positius) es mouen espontàniament des d'un lloc on el potencial és més alt cap a un altre lloc on el potencial és més baix, és a dir, en la direcció del camp elèctric. Per a mantenir l'estadt estacionari és necessari proveir un mecanisme que transporte els portadors de càrrega des d'un potencial més baix fis un potencial més elevat.

El generador de Van de Graaff és un exemple d'aquest mecanisme. Les càrregues positives es mouen en direcció contrària al camp elèctric, en el sentit que el potencial augmenta, i les negatives en la mateixa direcció que el camp, en el sentit que el potencial disminueix. La força o l'energia necessària per a aquest transport de càrregues el fa el motor que "bombeja" les càrregues.

S'anomena força electromotriu o fem Ve al treball per unitat de càrrega que fa el dispositiu. Tot i que la unitat de la fem és la mateixa que la d'una diferència de potencial, es tracta de conceptes completament diferents. Una fem produeix una diferència de potencial però sorgeix de fenòmens físics, la naturalesa dels quals no és necessàriamente elèctrica (en el generador de Van de Graaff és mecànica, en una pila és de naturalesa química, magnètica, etc.).

Una fem és un treball per unitat de càrrega; aquest treball no el fa necessàriament una força conservativa, mentre que la diferència de potencial és el treball per unitat de càrrega fet per una força elèctrica, que és conservativa.

En la miniaplicació (applet) se simula el generador de Van de Graaff (vegeu la descripció donada en la secció anterior). En el generador real, la cinta transporta càrrega de forma contínua. En la simulació es transporta de forma discreta: sobre la cinta apareixen punts rojos igualment espaiats; cadascun representa una unitat de càrrega positiva , el valor del qual el genera el programa interactiu de forma aleatòria.

Igual que en un generador real, el simulat posa un límit al camp màxim en la superfície de l'esfera a partir del qual l'aire es ionitza i el generador no pot incrementar més la càrrega. Podem aproximar el conductor buit a una esfera conductora de radi R. Coneixent la càrrega acumulada Q es calcula el camp produït per un esfera conductora en la seua superfície,

El generador deixa d'acumular càrrega quan l'aire esdevé conductor. La intensitat del camp elèctric límit és de vora 3.0·10⁶ V/m. Per a una esfera de radi R podem calcular la càrrega màxima que pot acumular i el màxim potencial que adquireix l'esfera carregada.

S'introdueix:

•  el radi de l'esfera, en cm, en el control d'edició radi.

Es pitja el botó Comença.

Suposem una esfera de 40 cm de radi. Comproveu que:

•  la capacitat de l'esfera, C = 4p e₀R, és 44.4 pF;
•  la càrrega màxima que pot acumular és Q = 53.3 mC, fins que es produeix la ruptura dielèctrica (el camp elèctric límit és de 3.0·10⁶ V/m);
•  el màxim potencial V és de 1.2 milions de volts.