Electromagnetisme |
Camp elèctric La llei de Coulomb El motor de Franklin Camp i potencial d'una càrrega puntual Camp i potencial de dues càrregues Dipol elèctric Línia de càrregues Llei de Gauss Model atòmic de Kelvin-Thomson La cubeta de Faraday Conductors Generador de Van de Graaff Conductors (II) Càrrega induïda Esfera conductora Un pèndol que
|
 Esfera
carregada pròxima a un pla conductor a potencial zero
|
||||||||||||||||||||||
|
El mètode de les imatges implica la conversió d'un camp elèctric en un altre equivalent més fàcil de calcular. En certs casos és possible substituir un conductor per un o més càrregues puntuals, de manera que les superfícies conductores se substitueixen per superfícies equipotencials als mateixos potencials. S'ha emprat el mètode de les imatges per a determinar el camp i el potencial d'un sistema format per una càrrega puntual Q pròxima a una esfera conductora a potencial zero. En aquesta página descriurem un sistema un poc més complex format per una esfera conductora i un pla a potencial zero.
Esfera carregada pròxima a un pla conductor a potencial zero
Les passes per a aplicar el mètode de les imatges són les sigüents:
El potencial en A (-a, 0) degut a les càrregues –q2 i q3 el fem zero:
El potencial en B (a, 0) degut a les càrregues –q2 i q3 el fem zero:
Aïllem q3 i x3 en aquest sistema de dues equacions amb dues incògnites:
Continuem el procés, que convergeix ràpidament fins que tinguem la precisió que vulguem. Relacions recursivesPodem calcular la successió de càrregues qi i les seues posicions xi mitjançant les relacions recursives
Exemple Prenem d = 3a, q1 = 1, i a = 1.
Com podem apreciar, la successió convergeix ràpidament. La distribució de càrrega formada per una esfera de radio a i un pla a potencial zero situat a una distància d > a del centre de l'esfera podem substituir-la per una successió de càrregues puntuals positives situades en l'esfera i les càrregues negatives corresponents situades simètricament respecte del pla. Així, la càrrega qi està en la posició xi i la seua simàtrica –qi està en la posició 2d-xi. La càrrega total de l'esfera és
Tan sols q1 contribueix al potencial de l'esfera; les càrregues -q1, q2 anul·len el potencial de l'esfera i el mateix ocorre amb tots els parells de càrregues restants. El potencial de l'esfera és, per tant, V = q1/(4πє0) Camp i potencial produït pel conjunt de càrregues puntualsCalculem el camp i el potencial produït en el punt P (x, i ) pel parell de càrregues qi, situada en el punt xi, i la seua simètrica –qi, en la posició 2d-xi.
El mòdul del camp E1 produït per la càrrega qi és
El mòdul del camp E2 produït per la càrrega simètrica -qi és
Les components del camp total Ei són Eix = E1·cosθ1
+ E2·cosθ2
El potencial Vi en el punt P degut a les dues càrregues és
El camp i el potencial total són, respectivament, la suma de tots els camps i els potenciales produïts pels parells de càrregues disposades simètricament al pla:
ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botón Nou. Es tracen les línies de força (en color blanc) i les superfícies equipotencials (en color blau clar). Les superfícies equipotencials s'han traçat en intervals de 0.05 unitats arbitràries, prenent el potencial de l'esfera com la unitat. |
Lorrain P., Corson D. Campos y ondas electromagnéticas. Selecciones Científicas (1972), pàgs. 159-161.
Mètode de
