Electromagnetisme |
Camp magnètic Força sobre un conductor rectilini La balança de corrent Força i moment sobre una espira El galvanòmetre La roda de Barlow Corrent rectilini L'espira El solenoide i el toroide Oscil·lacions
|
Oscil·lacions harmòniques de l'imant |
|
|
Oscil·lacions harmóniques de l'imantEn una primera aproximació ignorarem l'efecte de la grandària finita de l'imant. Considerem una bobina molt estreta de N espires del matexi radi R. El camp produït per aquesta bobina en un punto P de l'eix de la bobina situat a una distància x del seu centre és
Suposem que un imant de moment magnètic m està situat en aquest punto P, de manera que el vector B i el vector m són paral·lels.
L'energia potencial de l'imant serà
Si l'oscil·lació té lloc en les properies del centre de la bobina, de manera que x << R, el moviment de l'imant és aproximadament harmònic. Desenvolupant Ep(x) en sèrie al voltant de x = 0, obtenim
El primer terme no té influència en el moviment, ja que donada una força conservativa l'energia potencial està definida (llevat d'una constant additiva que ens serveix per a establir l'origen de l'energia potencial). El segon terme correspon a l'energia potencial d'un oscil·lador harmònic. Per a una partícula de massa M que descriu un M.A.S. de freqüència angular ω, l'energia potencial s'escriu
Negliglint els termes d'ordre superior a x2 en el desenvolupament en sèrie, obtenim la freqüència angular ω,
L'equación d'un M.A.S s'escriu x = A·sin(ωt+φ) Si en l'instant inicial la partícula surt de la posició x = A amb velocitat v = 0, l'equació del moviment serà x = A·sin(ωt+π/2) = A·cos(ωt) Moviment oscil·latori de l'imantEn una segona aproximació considerarem l'efecte de la longitud de l'imant, suposant que les altres dimensions (ample i alt, si l'imant té forma de paral·lepíped, radi, si té forma cilíndrica) són petites per a considerar el camp magnètic aproximadament uniforme en la secció trasversal de l'imant. Si l'amplitud de l'oscil·lació no és petita comparada amb el radi R de la bobina (com hem suposat en l'apartat anterior), el moviment de l'imant deixa de ser harmònic simple (M.A.S.).
Considerarem que l'imant està format per una distribució contínua de dipols (en color obscur en la figura) de moment dipolar magnètic dm = (m/L)·ds. Calculem l'energia d'aquesta distribució contínua en el camp magnètic B produït per una bobina formada per N espires apretades, del mateix radi R, per la qual circula un corrent d'intensitat I. dEp= -B(x+s)·dm on B(x+s) és el camp produït per la bobina en la posició x+s que ocupa el dipol puntual de longitud ds. Com es veu en la figura,
L'energia potencial total de l'imant serà
Donada l'energia potencial, podem calcular la força que fa el camp magnètic sobre l'imant
Coneguda la força F(x) i la massa M de l'imant, l'equació del movimiento s'escriu El program interactiu resol l'equació del moviment aplicant el procediment numèric de Runge-Kutta.
ActivitatsS'introduix:
En la part esquerra de la miniaplicació (applet) observem el moviment de l'imant al llarg de l'eix de la bobina. En la part dreta observem la representació gràfica de l' energia potencial de l'imant, Ep(x). L'ordenada de la recta horitzontal de color negre representa l'energia total; l'energia potencial ve en color blau, i la diferència, en color roig, és l'energia cinètica. Meitjançant una fletxa horitzontal s'assenyala la força F(x) sobre l'imant. La força és nul·la en el mínim de la corba de l'energia potencial. És positiva per a x < 0 (el pendent de la corba és negatiu), i és negatiu per a x > 0 (el pendent és positiu). Es tracta d'un exemple més d'oscil·lació no harmònica, que es pot aproximar a un M.A.S. quan l'amplitud de l'oscil·lació és petita, és a dir, en les properies del mínim de l'energia potencial. Exemple
La freqüència angular i el període P de les oscil·lacions harmòniques és
Emprant els botons Pausa/Continua i Pas podem mesurar el temps de diverses oscil·lacions completes i calcular el període P o la frequència ω de l'oscil·lació i veure si s'acosta o no a la calculada meitjançant la fórmula anterior (M.A.S.). Amb les dades de l'exemple podem comprovar que la corba de l'energia potencial, Ep(x), s'aproxima a una paràbola, ja que la longitud L de l'imant és petita, i l'amplitud A és molt més petita que el radi de la bobina R. |
Bisquert J. Hurtado E., Mafé S., Pina J. Oscillations of a dipole in a magnetic field: An experiment. Am. J. Phys. 58 (9) September 1990, pp. 838-843.
Oscil·lacions
