Electromagnetisme |
Autoinducció i Inducció mutua Autoinducció. Circuit R-L Circuits acoblats (I) Circuits acoblats (II) Oscil·lacions
Elements d'un circuit de C.A. Mesura de l'auto- inducció d'un anell Circuit LCR en sèrie Ressonància Mesura de la velocitat de la llum en el buit Efectes mecànics de la llei de Faraday L'anell de Thomson (I) L'anell de Thomson (II) |
Circuit
format per dos condensadors, una resistència i una autoinducció
Solucions de l'equació diferencial Càrrega final dels condensadors |
|||
|
En la pàgina “Agrupació de condensadors” hemos estudiat el problema de dos condensadors iguals de capacitat C que es connecten en paral·lel. Quan es carrega un condensador amb càrrega Q i es connecta a un altre descarregat, en l'estat final els dos condensadors es carreguen amb la mateixa càrrega Q/2. L'energia elèctrica acumulada en els condensadors en l'estat final és justament la meitat de l'energia inicial. Per a explicar aquesta pèrdua de energia s'ha supusat que entre els dos condensadors hi ha una resistència R. La diferència d'energia es dissipa en la resistència en forma de calor. Tot i que aquest model sembla satisfactori ja que és natural incloure la resistència R dels cables que connecten els condensadors ens queda un problema sense resoldre. El corrent i canvia des d'un valor i = 0, per a t < 0, a un valor i0 = Q/(RC), per a t = 0. La raó d'aquesta discontinuitat és que no hem inclòs l'autoinducció L que té qualsevol circuit.
Circuit format per dos condensadors, una resistència i una autoinduccióConsiderem el següent circuit format per dos condensadors de capacitats C1 i C2, una resistència R i una autoinducció L.
El condensador de capacitat C1 està carregat amb una càrrega Q, i el condensador de capacitat C2 està inicialment descarregat. En l'instant t = 0 es tanca el circuit. El condensador de capacitat C1 es descarrega i carrega el condensador de capacitat C2. En un instant donat t tindrem que:
Mesurem les diferències de potencial entre els punts a i b, b i c, c i d, d i a. En un circuit tancat es compleix que Vab + Vbc + Vcd + Vda = 0
L'equació del circuit és
amb q1 + q2 = Q.
L'equació del circuit s'escriu en terme de q2 així
o bé,
La solució d'aquesta equació diferencial és de la forma La constant y1 és la solució particular de l'equació diferencial i la resta és la solució general que ja vam trobar en l'estudi de les oscil·lacions amortides. Introduint la solució particular y1 en l'equació diferencial tenim que y1 = Q·C2/(C1+C2) Les condicions inicials q2 = 0, i dq2/dt = 0 determinen els valors de A i B. Comprovem que, en l'instant t = 0, q2 = 0 i i = 0. Després d'un temps molt gran, t→∞, i→0 i
|
 |
Per a obtenir aquesta imatge en la miniaplicació (applet) de les oscil·lacions amortides s'introdueix en els controls d'edició:
|
 |
Aquesta solució es pot comparar amb la que vam obtenir sense tenir en compte l'autoinducció del circuit,
que expressa que la intensitat i disminueix exponencialment amb el temps. |
S'introdueix:
la capacitat C1 del primer condensador, en μF, inicialment carregat, en el control d'edició Capacitat 1;
la capacitat C2 del segon condensador, en μF, inicialment descarregat, en el control d'edició Capacitat 2;
la resistència R, en mΩ, en el control d'edició Resistència;
l'autoinducció L de la bobina, en μH, en el control d'edició Autoinducció.
Es pot modificar l'escala de temps de l'eix horitzontal de la representació gràfica si triem un nombre o una fracció en el control de selecció Escala.
Es pitja el botón Comença.
S'observa com la càrrega flueix d'un condensador a l'altre, de forma anàloga a com flueix la càrrega entre els vasos comunicants. El flux de càrregues (la intensitat del corrent) està representat pel moviment de punts de color roig.
Si la resistència R no és nul·la la càrrega en cadascun dels condensadors tendeix cap a un valor límit.
En la gràfica es representa, en l'eix vertical, la càrrega q1/Q, i q2/Q i en l'eix horitzontal. El temps t es mesura en μs.
Exemple
S'introdueix:
capacitats: C1 = 3·10-6 F, C2 = 2·10-6 F
resistència, R = 50·10-3 Ω
autoinducció, L = 2·10-6 H
Calculem:
la constant d'amortiment γ = 12500 s-1
la freqüència angular natural ω0 = 645497 rad/s
la freqüència de l'oscil·lació amortida ω = 645377 rad/s
Les dues freqüències són prácticament iguals.
En l'instant t = 100·10-6 s calculem la càrrega
En el condensador de capacitat C2 obtenim q2/Q = 0.41
En el condensador de capacitat C1, q1/Q = 1 - q2/Q = 0.59
on Q és la càrrega inicial, en l'instant t = 0.
Després d'un temps molt gran les càrregues en cadascun dels condensadors tendeix cap a
q2/Q = 0.4
q1/Q = 0.6
Powell R. A. Two-capacitor problem: A more realistic view. Am. J. Phys. 47 (5) May 1979, pp. 460-462.
El problema dels
dos condensadors
per
a arribar a l'expressió final.
