Electromagnetisme

Llei de Faraday

Espires en un camp
magnètic variable (I)

Espires en un camp
magnètic variable (II)

Demostració de
la llei de Faraday (I)

Demostració de 
la llei de Faraday (II)

Accelerador de
partícules. El betatró

Vareta que es mou
en un c. magnètic (I)

Caiguda d'una vareta
en un c. magnètic

Moviment d'una
espira a través
d'un c. magnètic

Mesura del camp
magnètic

Generador de corrent
altern

Galvanòmetre balístic

Corrents de 
  Foucault (I)

Corrents de
Foucault (II)

Inducció homopolar

Un disc motor
i generador

Vareta que es mou
en un c. magnètic (II)

Moment angular
dels camps EM (I)

Moment angular
dels camps EM (II)

Model simple que calcula la força de frenat

Disc que es mou en un camp magnètic uniforme

Activitats

Referència

Fins ara hem considerat exemples en els quals els corrents induïts estan obligats a seguir trajectòries ben definides a través de fils fets de material conductor. Els equips elèctrics esten formats per peces, trossos de conductor que es mouen en un camp magnètic o estan situades en un camp magnètic variable, i donen lloc a corrents induïts que circulen pel volum del conductor. Aquests corrents s'anomenen de Foucault.

Quan es col·loca una peça de metalt en un camp magnètic variable amb el temps B(t), es genera un camp elèctric que produeix un moviment de les càrregues lliures en el conductor metàl·lic, i es generen corrents.

Aquests corrents dissipen energia en el metall en forma de calor. Donarem un exemple en la pàgina següent dedicada als corrents de Foucault.

Quan una peça de metall es mou en una regió en la qual hi ha un camp magnètic no uniforme però constant en el temps B(r) es generen corrents i l'energia es dissipa en el conductor metàl·lic. Aquest fenomen es pot explicar mitjançant la força de Lorentz. A causa de la dissipació de l'energia es produeix una força de frenat que disminueix la velocitat de la peça metàl·lica.

En aquesta pàgina farem una descripció cualitativa dels corrents de Foucault tenint present el comportament d'una espira que travessa una regió on hi ha un camp magnètic uniforme, amb velocitat constant. A continuació, mitjançant un model simple, es demostrarà que la força de frenat és proporcional a la velocitat de la peça metàl·lica, i clourem amb un programa interactiu, que mostra els efectes de la força de frenat sobre un disc en rotació com el que es mostra en la figura..

Moviment d'una peça conductora cap a i des d'un camp magnètic uniforme

L'efecte dels corrents de Foucault és una dissipació de l'energia per efecte Joule. Aquestes pèrdues s'intentaran reducir al màxim possible en los nuclis d'un transformador, però pot ser interessante augmentar-les per a fer un frenadt electromagnètic (esmorteïment, frenat elèctric) o en la producció de calor (forn d'inducció).

El comportament d'una peça metàl·lica rectangular que es mou cap a, o ix, d'una regió on hi haun camp magnètic uniforme és essencialment el mateix que el d'una espira que es mou cap a, o ix, d'una regió on hi ha un camp magnètic uniforme perpendicular a l'espira.

	Quan s'introdueix la peça rectangular en la regió on hi ha un camp magnètic uniforme el flux augmenta i els corrents en remolí s'oposen a l'increment de flux. La força que fa el camp magnètic sobre cadascun dels corrents induïts dóna una resultante que s'oposa a la força aplicada. El camp magnètic és perpendicular al pla del dibuixo i està dirigit cap al lector. El sentit del corrent induït en la región on hi ha camp magnètic està indicat pel vector unitari ut.
	Quan es trau la peça rectangular de la regió on hi ha un camp magnètic uniforme el flux disminueix i els corrents en remolí s'oposen a la disminució. La força que fa el camp magnètic sobre cadascun dels corrents induïts dóna una resultante que s'oposa a la força aplicada. De la mateixa manera que hem vist en l'espira que s'introdueix en el camp magnètic, el corrent es genera en el costat de l'espira que està en l'interior del camp magnètic i retorna per la part de l'espira que està fora d'aquesta regió.
	Considerem ara que la peça metàl·lica és més gran que la regió que conté el camp magnètic. Es formen dos corrents en forma de remolí de sentits contraris, un a l'esquerra i un altre a la dreta, en els límits de la regió rectangular on hi ha el camp magnètic. La força que fa el camp magnètic sobre els corrents induïts és de sentit contrari a la força aplicada que mou la peça cap a la dreta.

Model simple que calcula la força de frenat

Siga una peça metàl·lica llarga i ampla i de gruix petit que es mou amb velocitat constante v. Un camp magnètic B uniforme perpendicular al pla del full metàl·lica s'aplica a una petita porció rectangular de dimensions a i b.

Se suposarà que el camp magnètic produït pels corrents induïts és suficientement petit per a considerar que la força de frenat prové únicament de l'acció del camp magnètic extern sobre els corrents induïts. Açò es produeix si la velocitat v de la peça metàl·lica és inferior a una velocitat característica v_c que depén de la conductivitat del metall  i del gruix de la peça.

Suposem que el camp magnètic B és perpendicular al pla del full metàl·lic; en moure's la peça metàl·lica amb velocitat v, els portadors de càrrega q hi ha en la petita regió rectangular de dimensions a i b experimenten una força f_m = q·(v×B), com es mostra en la figura. Els portadors de càrrega són impulsats per la força magnètica cap a la dreta.

La separació de càrregues produeix un camp elèctric E = -v×B  dirigit cap a l'esquerra. Tenim l'equivalent a una bateria la fem de la qual és igual a la diferència de potencial V_ε = v·B·a mesurada en circuit obert.

La petita regió rectangular no està aïllada de la resta del full metàl·lic que proporciona la connexió entre els dos terminals de la bateria imaginària per la qual circula un corrent d'intensitat i. La resta de la peça metàl·lica oposa una resistència R al pas del corrent elàctric. Mentre que la petita regió rectangular presenta una resistència interna r que podem calcular aplicant la llei d'Ohm.

on δ és el gruix de la peça metàl·lica i σ la conductivitat del metall.  L'equació del circuit s'escriu i(r+R) = V_ε

El càlcul de la resistència R de la peça metàl·lica, excepte la regió rectangular, és molt complicat.

La força que fa el camp magnètic B sobre aquesta porció de corrent rectilíni és Fm = i(utxB)a Se suposa que la intensitat està uniformement distribuïda en la sección bδ

La força F_m s'oposa a la velocitat v de la peça metàl·lica i és proporcional a la seua velocitat, i al quadrat del camp magnètic B. El producte δab és el volum de la porció de la peça metàl·lica que està sota la influència del camp magnétic uniforme B.

L'energia dissipada en la unitat de temps és el producte de la força per la velocitat, F_m·v, és proporcional al quadrat del producte de la intensitat del camp magnètic per la velocitat.

Deducció alternativa

De la llei d'Ohm i de la força de Lorentz calculem la densitat de corrent J

J = σ(E+v×B)

• El camp magnètic té la direcció de l'eix Z, B=Bk.

• La velocitat té la direcció de l'eix Y, v = vj

• El camp elèctric induït E = -(V/a)i, on V és la diferència de potencial a través de l'amplària de la regió rectangular d'ample a.

• El producte vectorial v×B = vBi

Si J és uniforme en la secció bδ, la intensitat i del corrent que flueix per la regió rectangular és J=i/(bδ)i

El primer terme és la fem induïda V_ε=vBa, el terme que multiplica la intensitat és la resistència r que presenta la regió rectangular al pas del corrent.

V és la diferència de potencial en els terminals de la bateria i és també la diferència de potencial entre els extrems de la resistència R, i per tant V = iR. Arribem a l'equació del circuit vBa = i(r+R)

La força que fa el camp magnètic sobre el corrent d'intensitat i la podem escriure en termes del vector densitat de corrent J  el mòdul del qual és la intensitat dividida per l'àrea J=i/(bδ), i la direcció i sentit de la qual és la del vector unitari ut.

L'element de volum dV = bδ·dx, assenyalat en color groc en la figura

Obtenim el mateix resultat

Disc que es mou en un camp magnètic uniforme

Considerem un disc que es mou en un camp magnètic uniforme perpendicular al pla del disc, però limitat a una porció de la seua superfície. Tenim ara un doble corrent en forma de remolí que circula en sentits contraris, en la vora anterior i posterior del camp magnètic.

Podem explicar l'origen dels corrents induïts a partir de la força sobre els portadors de càrrega positiva situats en la regió on hi ha camp magnètic. on v és la velocitat dels portadors situats a una distància r de l'eix del disc v = w r.

Tot i que els portadors de càrrega experimenten una força més intensa en la vora del disc que els situats cap al centre, la intensitat del corrent induït és proporcional a la velocitat angular w del disc. La intensitat és també proporcional al camp magnètic B.

Les forces que fa el camp magnètic sobre les porcions de corrent induït s'oposen totes al moviment del disc i són proporcionals a la intensitat del corrent i i al camp magnètic B aplicat. Per tant, aquestes forces seran proporcionals a la velocitat angular w de rotació del disc i a B2, al quadrat del mòdul del camp magnètic aplicat.

El moment d'aquestes forces respecte de l'eix del disc, com s'ha assenyalat, és proporcional a la velocitat angular del disc, M_m = kw

on k és una constant que depén de la conductivitat del material del qual està fet el disc, la intensitat del camp magnètic i la posició i grandària de la porció de la superfície del disc sobre la qual actua el camp magnètic.

Una situació anàloga al moviment vertical d'una vareta en el si d'un camp magnètic uniforme.

Equació de la dinàmica de rotació

Suposem un disc de moment d'inèrcia I₀ al qual se li proporciona una velocitat angular w₀ en el instant inicial. La velocitat angular del disc en l'instant t s'obté a partir de l'equació de la dinàmica de rotació

La velocitat angular disminueix exponencialment amb el temps.

El pèndol de Pohl és un disc que pot oscil·lar angularment gràcies al moment que fa sobre ell una molla helicoïdal. Un dispositiu d'aquest tipus descriu oscil·lacions lliures. Si al disc se li acobla un anell de metall (normalment coure) i se li fa girar entre els pols un electroimant tenim un model de oscil·lador esmorteït.

Depenent de la intensitat del corrent en l'electroimant el camp pot ser major o menor. El moment de la força de frenat magnètic es pot fer suficientement gran de manera que el sistema deixe d'oscil·lar; estem en el cas de les oscil·lacions crítiques i sobreesmorteïdes.

Activitats

S'introdueix:

• El camp magnètic (en gauss o 10^-4 T) que pot ser un nombre positiu o negatiu.
• La velocitat angular inicial de rotació en (rad/s), un nombre positiu o negatiu.

Es pitja el botó Comença.

S'observa el moviment de rotació del disc, com va disminuint-ne la velocitat angular.

Els corrents induïts es visualitzen mitjaçant el moviment de punts de color roig que representen portadors de càrrega positius. Els corrents induïts s'originen en la regió on hi ha camp magnètic i es tanquen per fora d'aquesta regió, com vam veure en el moviment d'una espira en el si d'un camp magnètic uniforme.

Si activem la casella Força sobre les càrregues es representen els vectors següents:

• Velocitat del portador de càrrega (un vector cap a la dreta o cap a l'esquerra de color roig)
• Camp magnètic (un vector de color blau perpendicular al pla de la miniaplicació (applet) cap al lector o en el sentit contrario)
• Forces sobre el portador de càrrega, que assenyala el sentit del corrent induït (un vector de color negre, cap a dalt o cap a baix)

Activem la casella Força sobre els corrents induïts per a veure els vectors

• Sentit del corrent induït (un vector cap a dalt o cap a baix, de color roig)
• Camp magnètic (un vector de color blau perpendicular al pla de l'applet, cap al lector o en el sentit contrari)
• Resultant de les forces sobre les porcions de corrent induït situades en la regió on hi ha camp magnètic (un vector de color negre, sempre oposat a la velocitat del disc)

A la dreta de l'applet es representa la velocitat angular en funció del temps i s'observa que es tracta d'una exponencial decreixent.