Electromagnetisme |
Llei de Faraday Espires en un camp magnètic variable (I) Espires en un camp magnètic variable (II) Demostració de la llei de Faraday (I) Demostració de la llei de Faraday (II) Accelerador de partícules El betatró Vareta que es mou en un c. magnètic (I) Caiguda d'una vareta en un c. magnètic Moviment d'una éspira Mesura del camp magnètic Generador de corrent altern
Corrents de Foucault (I) Corrents de Foucault (II) Inducció homopolar Un disc motor i generador Vareta que es mou en un c. magnètic (II) Moment angular dels camps EM (I) Moment angular dels camps EM (II) |
||
|
En aquesta página estudiarem amb detall el moviment de rotació de les espires d'un galvanòmetre balístic, tenint en compte el corrent induït que es genera en moure's les espires en el si d'un camp magnètic. Hem estudiat ja el funcionamiento del galvanòmetre balístic i vam concloure que el corrent que passa per la bobina i el camp magnètic proporcionen l'impuls angular que fa que el galvanòmetre adquereix una velocitat angular inicial de rotació. El fil de torsió o la molla helicoïdal proporcionen el moment que frena la rotació fins que arriba a una desviació màxima. El galvanòmetre oscil·la lliurement al voltant del seu eix amb un període que ha de ser molt major que la duració del corrent que el travessa. En aquesta anàlisi hem omés el paper del corrent induït que és genera quan una éspira és mou en el si d'un camp magnètic. Veurem que el corrent induït que circula per les espires de la bobina fan que l'amplitud de l'oscil·lació del galvanòmetre disminuisca amb el temps.
Corrent induïtEn la figura es representa la situació inicial de les espires del galvanòmetre, just en el moment que ha adquirit una velocitat angular inicial w0, després d'haver passat el corrent.
En aquesta altra figura es representa el corrent induït en les espires quan el seu pla ha girat un angle q respecte del pla horitzontal.
El flux del camp magnètic que travessa les N espires d'àrea S és F = B·NS = N·B·S·cos(90+q ) = -N·B·S·sinq D'acord amb la llei de Faraday la fem val
El sentit del corrent induït i s'obté aplicant la llei de Lenz. Com que el flux F augmenta el corrent induït s'oposa a l'augment de flux. Les fletxes de color roig indiquen el sentit d'aquest corrent.
on R és la resistència del circuit.
Forces i moment que fa el camp magnèticEl camp magnètic fa una força i un moment sobre les espires. Com ja vam demostrar, solament és necessari determinar les forces sobre els costats de longitud a de l'espira.
El mòdul de la força sobre cadascun dels costats és F = i·N·B·a Té la direcció i el sentit mostrat en la figura. El moment d'aquestes forces respecte de l'eix de rotació és
Equació del movimentEl moment total que es fa sobre la bobina és la suma del moment que fa el camp magnètic M i del moment que fa la molla helicoïdal -k·q , com vam veure en l'estudi previ del galvanòmetre balístic o del péndol de torsió, on k és la constant de la molla helicoïdal o la constant de torsió del fil. L'equació de la dinámica de rotació (moment d'inèrcia per acceleració angular igual al moment de les forces que es fan sobre el sòlid) és I·α = M - k·q
Escrivint-la en forma d'equació diferencial,
Es tracta d'una equació similar a l'equació diferencial que
descriu les oscil·lacions
esmorteïdes llevat del terme Si l'angle q és petit podem prendre cos2q » 1
Tenim una oscil·lació esmorteïda la freqüència pròpia de la qual és
i la constant d'esmorteïement de la qual és
La freqüència de l'oscil·lació esmorteïda és
i la solució de l'equació diferencial és l'equació de l'oscil·lació esmorteïda
La característica essencial d'una oscil·lació esmorteïda és que la seua amplitud disminueix exponencialment amb el temps. Si la resistència R és grand el factor d'esmorteïment g és petit i l'oscil·lació disminueix a poc a poc la sua amplitud amb el temps. Si la resistència R és petita el factor g és gran i l'amplitud decreix ràpidament. L'amplitud A i la fase inicial f es
determinen a partir de les condicions inicials, en l'instant t
= 0, q = 0, on w0 (no la confongues amb la freqüència pròpia w0) és la velocitat angular inicial que proporciona l'impuls angular del corrent que travessa el galvanòmetre.
En el cas que el desplaçament q siga gran ja no podem fer l'aproximació cos2q » 1, i l'equació diferencial s'ha de resoldre de forma numèrica. Simplifiquem l'equació diferencial prenent l'escala de temps
L'equació diferencial resultant depén d'un paràmetro a
Si la resistència R és gran el factor a és petit i l'oscil·lació canvia poc la seua amplitud amb el pas del temps. Si la resistència R és petita el factor a és gran i l'oscil·lació desapareix ràpidament, i el galvanòmetre regressa a la posició inicial de partida.
ActivitatsS'introdueix:
En el cas que l'angle màxim de desviació supere els 45º el programa no prossegueix i ens convida a disminuir la velocitat angular inicial. El primer que observem en la simulació és el corrent que travessa el galvanòmetre durante un interval de temps petit comparat amb el període de l'oscil·lació del galvanòmetre. Aquest corrent es representa mitjançant punts de color blau que es mouen al llarg de l'espira. El camp magnètic B fa un moment sobre les espires durant el breu interval de temps que dura el pas del corrent. Podem veure les forces sobre les espires. Les espires no canvien apreciablement de posició durant aquest interval de temps curt. Però un moment actuant durant un temps produeix un impuls angular que modifica la velocitat angular de rotació de la bobina. La bobina adquereix una velocitat angular inicial w0 (no la confongues amb la freqüència pròpia w0 de l'oscil·lador) que és la que hem introduït en el control d'edició Velocitat angular inicial. La bobina es desplaça fins arribar a la posició angular màxima, regressa a l'origen, i així successivament, descrivint una oscil·lació l'amplitud de la qual va disminuint amb el temps. En la part superior de la miniaplicació (applet) observem el gràfic de la desviació de l'aulla indicadora q del galvanòmetre en funció del temps t. En la part esquerra de la miniaplicació es mostra una vista en dues dimensions del galvanòmetre, els corrents entrants i sortints en les espires es representen mitjançant els símbols habituals. Com en altres applets d'aquesta secció, el lector tractarà de comprovar el sentit del corrent induït i la direcció i el sentit de les forces que fa el camp magnètic, dibuixant representacions bidimensionals com les següents:
En la figura podem veure el sentit del corrent induït cada quart de període i les direcciones i els sentits de les forces sobre cada costat de l'espira. Podem comprovar que el moment del parell de forces s'oposa sempre a la velocitat de rotació de l'espira.
|
Galvanòmetre balístic
