Electromagnetisme |
Llei de Faraday Espires en un camp magnètic variable (I) Espires en un camp magnètic variable (II) Demostració de la llei de Faraday (I) Demostració de la llei de Faraday (II) Accelerador de Vareta que es mou en un c. magnètic (I) Caiguda d'una vareta en un c. magnètic Moviment d'una espira a través d'un c. magnètic Mesura del camp magnètic Generador de corrent altern Galvanòmetre balístic Corrents de Foucault (I) Corrents de Foucault (II) Inducció homopolar Un disc motor i generador Vareta que es mou en un c. magnètic (II)
Moment angular dels camps EM (II) |
La paradoxa de Feynman
Moment angular dels camps electromagnètics Un caso senzill de moment angular dels camps electromagnètics |
|||||||
|
En aquesta pàgina s'explica la paradoxa que s'enuncia en el segon volum de les cèlebres Feynman’s Lectures on Physics, pàgs. 17-8, 9. La noció que un camp electromagnètic poseeix un moment angular no se sol explicar en els llibres de text de Física General. La paradoxa de Feynman ens permet introducir a l'estudiant en aquesta propietat fonamental del camp electromagnètic.
La paradoxa de Feynman
En el centre del disc es col·loca una petita bobina l'eix de la qual coincideix amb l'eix de rotació del disc. Per la bobina passa un corrent estacionari d'intensitat i, alimentat per una bateria. En la vora del disc, i espaiades uniformement al voltant de la seua circumferència hi ha un nombre de petites esferes metàl·liques aïllades les unes de les altres i del solenoide pel material plàstic del disc. Cadascuna de les esferes conductores està carregada amb la mateixa càrrega q. Inicialment el disc està en repòs. Suposem que per algun accident el corrent i en el solenoide s'interromp. Per exemple, el solenoide es manté a temperatura molt baixa de manera que el fil d'aram del qual està fabricat es fa superconductor. Quan la temperatura s'eleva per damunt de la crítica, la seua resistència augmenta i el corrent disminueix. En disminuir el flux del camp magnètic a través del solenoide es produirà un camp elèctric induït tangencial al perímetre del disc, el qual actuarà sobre les esferes carregades produint una força, el moment de la qual farà girar el disc. Tenim una situació semblant a la descrita en la pàgina dedicada a l'estudi de l'accelerador de partícules anomenat betatró. El camp elèctric produït pel canvi del flux del camp magnètic en el temps accelera la partícula carregada. Aplicant el principi de conservació del moment angular podem dir que el moment angular inicial del sistema aïllat és zero i el moment angular final del conjunt serà zero. Per tant, no ha d'haver rotació del disc quan el corrent desapareixca: aquesta és la paradoxa.
Moment angular mecànicSuposem que la bobina té un radi a petit en comparació amb el radi R del disc. El camp produït per la bobina per a punts tals que r >> a és
Suposarem que el corrent i en el solenoide es modifica lentament de manera que tenim camps electromagnètics quasiestàtics en tots els instants.
Fixeu-vos que el càlcul directe del flux a través del disc no és zencill ja que no disposem d'una expressió de B per a punts en l'interior de la bobina o propers a ella. Tenint en compte que el moment magnètic té la direcció de l'eix Z, m = m·k, el camp B per als puntos del pla que conté el disc, z = 0, és
D'acord amb la llei de Faraday
Degut a la simetria axial el camp elèctric E generat és constant en tots els punts d'una circumferència de radi r, i la seua direcció és tangent a aquesta circumferència. El camp elèctric E generat val, en la posició r = R de la vora del disc on s'hi troben les càrregues,
El seu sentit està determinat per la llei de Lenz, com s'assenyala en la figura:
El camp elèctric E fa una força sobre la càrrega puntual q, f = q·E La força f té la mateixa direcció que el camp E, el mateix sentit si la càrrega q és positiva i sentit contrari si la càrrega és negativa. La força f produeix un moment que fa girar el disc. Si la càrrega total Q està uniformement distribuïda en el perímetre del disc, el moment M de la força que fa el camp elèctric E sobre les càrregues és
El moment d'una força que actua durante un temps modifica el moment angular del sòlid en rotació al voltant d'un eix fixe. El moment angular final Lmec del disc té la direcció de l'eix de rotació i el seu mòdul és on m és el moment magnètic inicial.
Moment angular dels camps electromagnèticsL'explicació d'aquesta paradoxa és que els camps elèctrics i magnètics estàtics tenen moment angular. Aquestos camps i el disc formen les dues parts d'un sistema aïllat que estan acoblades per mitjà de les càrregues de la vora del disc. Quan canvia el corrent en la bobina part del moment angular emmagatzemat en els camps es transforma en moment angular mecànic del disc. El camp electromagnètic en el buit té un moment angular associat, respecto a l'origen, donat per l'expressió següent:
on S és el vector de Poynting i c la velocitat de la llum en el buit. Després d'algunes operacions, la dificultat de les quals supera la d'un curs introductori de Física, s'arriba al resultat que el moment angular del sistema format pel disc i el camp electromagnètic s'anul·la, Lem + Lmec = 0, com cap esperar del principi de conservació del moment angular. Una parte del moment angular electromagnètic es converteix en moment angular mecànic. Si tan sols estan presents les càrregues hi ha camp elèctric però no magnètic, i el moment angular L val zero. Si tan sols està present la bobina per la qual circula un corrent estacionari hi ha camp magnètic però no n'hi ha camp elèctric; el moment angular és també zero. Quan els dos camps estan presents el moment angular no és nul. Una deducció alternativa es fonamenta en la força que fa el camp magnètic produït per la bobina sobre una càrrega puntual q que es du des de l'infinit fins a la vora del disc. Suposem que tenim la bobina per la qual circula un corrent estacionari i que les càrregues elèctriques estan en l'infinit. No hi ha, per tant, moment angular. Movem les càrregues des de l'infinit, radialment, cap a la vora del disc amb velocitat constant v. Quan una càrrega puntual q està a una distància y del centre del disc experimenta una força f degut al camp magnètic B produït per la bobina:
Per a moure la càrrega q amb velocitat constant hem de fer una força exterior fext = - f. Aquesta força produeix un moment respecto de l'origen (el braç de la força és y), r = y·j,
El moment angular que emmagatzema el camp electromagnètic serà
on v·dt = - dy. El vector Lem té la direcció de l'eix Z i és independent de la velocitat v amb la qual es mou la càrrega des de l'infinit fins a la vora del disc. Nota: en moure's amb velocitat v una càrrega q produeix un camp magnètic, però aquest camp no fa cap força sobre la càrrega en moviment.
SimulacióLa bobina es pot connectar o desconnectar de la bateria.
El moment magnètic de la bobina és m = i·Nπa2, on N és el nombre d'espires i a és el radi de les espires. El moment magnètic m te el mateix comportament que la intensitat i. El ritme del seu canvi amb el temps és
El signe positiu s'obté quan es connecta la bateria a la bobina i el negatiu quan es desconcecta. El moment de les forces que fa el camp elèctric generat sobre les càrregues situades en la vora del disc el podem escriure així
Aplicant l'equació de la dinàmica de rotació obtenim el valor de l'acceleració angular α, on Ic és el moment d'inèrcia del disc,
Integrant respecte del temps obtenim la velocitat angular de rotació:
La velocitat angular final ωf = k·τ i el moment angular L no depenen de la constante de temps τ i valen en mòdul
El darrer factor és el moment magnètic inicial m = i0·Nπa2. Integrant la velocitat angular ω respecte del temps obtenim la posició angular θ,
Quan s'arriba a la velocitat angular constant ωf = k·τ el moviment del disc és uniforme.
ActivitatsS'introdueix:
El programa interactiu ha fixat els valors de:
S'activen els botons que indiquen:
Es pitja el botó Comença. S'observa el moviment de rotació del disc. En la part superior dreta es proporcionen els valors del temps t i de la velocitat angular de rotació ω, en unitats arbitràries. Observarem que
Es mostra mitjançant vectors:
S'aconsella al lector que:
|
|
|
||||||||||
Un cas senzill de moment angular dels camps electromagnèticsEl model de Feynman és atractiu, però presenta certa dificultat a l'hora de calcular el moment angular dels camps electromagnètics. En aquest apartat se proposa un model senzill que permet demostrar que la suma del moment angular mecànic Lmec i electromagnètic Lem és zero, i que es verifica així el principi de conservació del moment angular.
Moment angular mecànicEn l'instante t la intensitat que circula pels cables coaxials és i(t). El camp magnètic fa una força sobre els corrents radials que flueixen des de la vora de les plaques circulars cap als cables coaxials, en la placa superior, i a la inversa en la inferior. La força que fa un camp magnètic B sobre una porció de corrent per la qual circula una intensitat i és
El vector densitat de corrent J té la direcció i el sentit del vector unitari ut i es defineix com
La força que fa el camp magnètic sobre el corrent d'intensitat i la podem escriure en termes del vector densitat de corrent J
i el moment d'aquesta força respecte de l'eix de rotació és
Les figures indiquen la direcció i el sentit del moment M per a la placa circular inferior. Per a la placa circular superior el sentit de M és el contrari.
Tenint en compte que el volum de la capa cilíndrica (en color groc) de gruix d compresa entre r i r+dr és dV = 2πrdr·d, el moment Mb de les forces que fa el camp magnètic sobre el corrent i en la placa inferior és
Per a la placa circular superior el moment Ma es calcula de forma semblant, i dóna
El moment total és M = Ma - Mb = i·B·(a2-b2)/2. La direcció de M és la de l'eix de rotació i el seu sentit és positiu (cap a dalt). El moment mecànic angular final és
on Q és la càrrega final dels conductors (vegeu el full càrrega d'un condensador). Com que a > b, el moment angular mecànic te la direcció de l'eix de rotació i el sentit positiu (cap a dalt).
Moment angular del camp electromagnèticHem calculat, aplicant la llei de Gauss, el camp elèctric produït per dos conductors cilíndrics coaxials de longitud l i de radis b i a carregats amb càrregues Q iguals i oposades.
El mòdul del vector de Poynting, S = E×B/μ0, val
El moment angular electromagnètic és
tenint en compte que el volum d' integració és el volum de la capa cilíndrica de longitud l compresa entre a i b, i que l'element de volum és dV = 2πrl·dr, i recordando que c és la velocitat de la llum en el buit i que 1/c2 = ε0·μ0. El mòdul del moment angular Lem és
La direcció de Lcm és la de l'eix de rotació i el seu sentit és negatiu (cap a baix).
|
Aguirregabiria J. M., Hernández A. The Feynman paradox revisited. Eur. J. Phys. 2 (1981), pp. 168-170.
Bahder T, Sak J. Elementary solution to Feynman’s disk paradox. Am. J. Phys. 53 (3) May 1993, pp. 495-497.
Driver H. S. T. Angular momentum in static electric and magnetic fields: A simple case. Am. J. Phys. 55 (8) August 1987, pp. 755-757
Moment angular
dels camps EM (I)
