Electromagnetisme |
Llei de Faraday Espires en un camp magnètic variable (I) Espires en un camp magnètic variable (II) Demostració de la llei de Faraday (I) Demostració de la llei de Faraday (II) Accelerador de Vareta que es mou en un c. magnètic (I) Caiguda d'una vareta en un c. magnètic Moviment d'una espira a través d'un c. magnètic Mesura del camp magnètic Generador de corrent altern Galvanòmetre balístic Corrents de Foucault (I) Corrents de Foucault (II) Inducció homopolar Un disc motor i generador Vareta que es mou en un c. magnètic (II) Moment angular
|
Moviment quan no hi ha càrrega | |||||||||||
|
En aquesta página s'estudia el comportament d'un sistema electromecànic aplicant les lleis de Newton i la llei de Faraday. L'energia i el moment angular del sistema és la suma de dues partes: una mecànica i una altra electromagnètica.
El problema consisteix en determinar l'acceleració del bloc, l'energia cinètica i el moment angular quan el bloc ha descendit una altura h partint del repòs. Tota càrrega accelerada radia energia en forma d'ones electromagnètiques. Se suposarà que l'acceleració de les càrregues és suficientement petita com per a menysprear la pèrdua d'energia per radiació.
Moviment quan no hi ha càrregaEn la pàgina “Dinàmica de rotació i balanç energètic” hem analitzat un sistema mecànic semblant, quan Q = 0. En la figura s'ha dibuixat l'esquema de les forces sobre els cossos que intervenen en el moviment.
L'acceleració angular α val Quan el bloc ha descendit una altura h partint del repòs l'angle girat pel cilindre és h/R. La velocitat angular de rotació ω és
|
 |
Quan el bloc descendeix una altura h partint del repòs la seua energia potencial mgh es converteix en energia cinètica de translació del bloc i en energia cinètica de rotació del cilindre. |
La velocitat v del bloc és la mateixa que la d'un punt de la superfície del cilindr. Per tant, v = ω·R. La velocitat angular ω final de rotació del cilindre és
el mateix valor que hem obtingut aplicant les equacions de la dinàmica.
La càrrega Q està uniformement distribuïda en una capa cilíndrica molt prima. En l'instant t gira amb velocitat angular ω i produeix un corrent
que travessa la secció l·δ de la capa cilíndrica, on l la longitud del cilindre i δ él gruix d'aquesta capa.
Per a obtenir l'expressió del camp magnètic B creat pel corrent i en l'interior de la capa cilíndrica, apliquem la llei d'Ampère d'una manera semblant al d'un solenoide. Suposarem que:
La circulació del camp magnètic al llarg del camí tancat ABCD és Bz·x.
El corrent que travessa el camí tancat ABCD de longitud x és el mateix que travessa la secció x·δ de la capa cilíndrica, és a dir, i·x/l.
Aplicant la llei de Ampère aïllem el mòdul del camp magnètic,
De la mateixa manera que un solenoide, la capa cilíndrica té una autoinducció, que es calcula d'una manera semblant.
 |
El camp magnètic travessa la secció del
circuit, que és equivalent a una espira per la qual circula
un corrent d'intensitat i
|
S'anomena coeficient d'autoinducció L al quocient entre el flux propi (a través del propi solenoide) F i la intensitat i,
L'energia emmagatzemada en forma de camp magnètic en l'interior del cilindre, quan gira amb velocitat angular ω, és
Hi ha una forma alternativa d'obtenir l'energia magnètica: multiplicant la densitat d'energia magnètica pel volum del cilindre,
Com que la velocitat angular de rotació ω canvia amb el temps, el camp magnètic Bz canvia amb el temps. El flujo de dicho camp a través de la capa esférica cambia amb el temps. Aplicando la llei de Faraday
Com que el camp magnètic té la direcció de l'eix Z el camp elèctric E generat és tangent a la circumferència de radi r el centre de la qual està en l'eix del cilindre, com es mostra en la figura.
El camp Eφ en la posició r = R de la capa cilíndrica carregada val
Aquest camp produeix una força sobre les càrregues; la força produeix un moment que tendeix a frenar la rotació del cilindre. Suposant que la capa cilíndrica és molt prima la força és EφQ, i el moment respecte de l'eix del cilindre (força pel seu braç R) és
M = R·Q·Eφ
T·R + R·Q·Eφ = I·a
m·g - T = m·a
a = a·R
Aïllant l'acceleració angular α
La magnitud
té les dimensions de moment d'inèrcia, però associat amb la càrrega Q i no amb la massa m; per aquesta raó s'anomena moment d'inèrcia electromagnètic Iem.
Com veiem, l'acceleració angular és menor que la que s'obté quan no hi ha càrrega en la capa cilíndrica, Q = 0.
La velocitat angular de rotació ω, quan el bloc ha descendit una altura h partint del repòs, és ara
Balanç energètic
Quan el bloc descendeix una altura h partint del repòs la seua energia potencial mgh es converteix en energia cinètica de translació del bloc i de rotació del disc; la resta, ΔE, s'emmagatzema en forma d'energia magnètica en l'interior de la capa cilíndrica, com anem a demostrar a continuació.
Calculem aquesta diferència d'energies:
S'usa la fórmula de la velocitat angular ω calculada anteriorment i s'aïlla mgh:
Substituint el moment d'inèrcia electromagnètic Iem per seu valor, obtenim
L'energia potencial mgh del bloc es converteix en energia cinètica del bloc i en energia cinètica de rotació del disc, i la resta s'emmagatzema en l'interior de la capa cilíndrica com a energia EB del camp magnètic produït pel moviment de les càrregues situades en aquesta capa.
El principi de conservació de l'energia s'escriu, per al cas Q ≠ 0,
El bloc de massa m parteix del repòs i el cilindre està en repòs en l'instant inicial t = 0. El moment angular inicial és zero.
Al cap d'un cert temps t, el bloc descendeix una altura h, i es mou amb velocitat v; la velocitat angular de rotació del cilindre és ω i en l'interior de la capa cilíndrica hi ha un camp magnètic uniforme Bz.
El moment angular Lsis del sistema s'obté a partir de l'impuls angular que proporciona el bloc de massa m que penja de l'extrem de la corda enrotllada en el cilindre:
El moment angular del sistema Lsis el podem posar com la suma de dues contribucions:
El camp electromagnètic en el buit té un moment angular associat, respecte de l'origen, donat per l'expressió següent:
on S és el vector de Poynting i c és la velocitat de la llum en el buit.
Camp magnètic B
La distribució cilíndrica de càrrega, en posar-se en moviment de rotació, produeix un camp magnètic paral·lel a l'eix de rotació Bz com ja hem calculat. Tanmateix, el camp magnètic en l'exterior del cilindre no és nul, tot i que pot ser molt petit si el cilindre és suficientement llarg.
Camp elèctric E
La distribució cilíndrica de càrrega produeix també un camp elèctric que calcularem aplicant la llei de Gauss.
Siga una capa cilíndrica prima de longitud l i de radi R, uniformement carregada amb una càrrega Q. Per a una distribució cilíndrica i uniforme de càrrega, l'aplicació del teorema de Gauss requereix les passes següents:
La distribució de càrrega té simetria cilíndrica; per tant, la direcció del camp és radial i perpendicular a l'eix del cilindre.
Triem una superfície tancada apropiada per a calcular el flux.
Prendrem com a superfície tancada un cilindre de longitud l i de radi r.
El camp elèctric E és paral·lel al vector superfície dS, i el camp és constant en tots els punts de la superfície lateral cilíndrica, com s'hi veu a la figura. Per tant,
El flux del camp elèctric a través de les bases del cilindre és zero perquè E és perpendicular a S, com mostra la figura.
El flux total és, per tant, E·2p rl
 |
Com que la càrrega està en la capa cilíndrica, la superfície cilíndrica de radi r < R no conté cap càrrega. Aleshores, E = 0.
|
 |
La superfície cilíndrica de radi r > R conté una càrrega Q, per la qual cosa |
Una vegada coneguts els camps E i B es calcula el moment angular dels camps electromagnètics estàtics. El resultat final de la integració, que omitirem, produeix el mateix resultat, Lem = Iem·ω.
El moment d'inèrcia electromagnètic Iem és molt petit en un sistema real perquè μ0 = 4π·10-7, i la càrrega per unitat de longitud que es pot acumular en una capa cilíndrica prima és molt petita, inferior a 5·10-5 C/m, per a un cilindre de 30 cm de radi.
El moment d'inèrcia electromagnètic Iem és proporcional al quadrat de la càrrega Q. En la simulació assignarem un valor arbitrari a la constante de proporcionalitat, de manera que Iem siga gran i comparable al moment d'inèrcia mecànic mR2 + I.
S'introdueix:
Es pitja el botó Comença.
En la part dreta de la miniaplicació (applet) un diagrama en forma de pastís mostra com es va transformant l'energia potencial inicial del bloc (color gris):
Exemple:
El moment d'inèrcia de la capa cilíndrica és I = M·R2.
El moment d'inèrcia electromagnètic és Iem = k·Q2·R2. S'ha fixat el valor k = 1/64 de la constant de proporcionalitat.
L'acceleració angular depèn del radi R, que s'ha fixat en el valor R = 30 cm.
La velocitat final de rotació ω és
Per a m = 0.3 kg, M = 0.2 kg, Q = 3 unitats de càrrega , h = 1.0 m, R = 0.3 m,
Energia:
L'energia total és E = E1 + E2 + E3 = 2.94 J, que és l'energia potencial inicial del bloc, E = 0.3·9.8·1.0 = 2.94 J.
Fixeu-vos que com major siga la càrrega Q menor és la velocitat angular final ω, l'energia electromagnètica és major i menor l'energia cinètica.
Moment angular:
El temps que tarda el bloc en descendir h =1.0 m partint del repòs és t = 0.66 s.
L'impuls angular de la força exterior (el pes del bloc) és m·g·R·t = 0.58 kg·m2/s.
Gauthier N. A Newton-Faraday approach to electromagnetic energy and angular momentum storage in an electromechanical system. Am. J. Phys. 70 (10) October 2002, pp.1034-1038
Moment angular
dels camps EM (II)
