Electromagnetisme

Llei de Faraday

Espires en un camp
magnètic variable (I)

Espires en un camp
magnètic variable (II)

Demostració de
la llei de Faraday (I)

Demostració de 
la llei de Faraday (II)

Accelerador de
partículas. El betatró

Vareta que es mou
en un c. magnètic (I)

Caiguda d'una vareta
en un c. magnètic

Moviment d'una
espira a través
d'un c. magnètic

Mesura del camp
magnètic

Generador de corrent
altern

Galvanòmetre balístic

Corrents de
Foucault (I)

Corrents de
Foucault (II)

Inducció homopolar

Un disc motor i
generador

Vareta que es mou
en un c. magnètic (II)

Moment angular
dels camps EM (I)

Moment angular
dels camps EM (II)

Activitats

Referències

En una pàgina prèvia hem aplicar la llei de Faraday a un circuit constituït per una vareta que es mou amb velocitat constant sobre rails paral·lels en el si d'un camp magnètic uniforme i perpendicular al pla del circuit.

En aquesta pàgina estudiarem de nou el moviment de la vareta de longitud L, i massa m, que es mou sense fricció sobre dos rails paral·lels. Una bateria la diferència de potencial de la qual és V0, els dos rails i la vareta lliscant constitueixen un circuit tancat.

En presència d'un camp magnètic uniforme B, perpendicular al pla del circuit, la barra s'accelera per la força de Lorentz fins que arriba a la velocitat límit constant.

Suposarem que els rails són superconductors, perquè el problema no siga complicat de resoldre. D'altra manera s'introduiria un terme no lineal (en augmentar la longitud del circuit) en les equacions del moviment de la vareta.

Descripció

Equació del circuit

A mesura que es mou la vareta augmenta l'àrea, i augmenta el flux del camp magnètic a través del circuit format pels riells i la vareta. La fem induïda Vε, d'acord amb la llei de Faraday, val

El flux val Φ = B·S = - B·a·x.

Derivant el flux Φ respecte del temps i canviant-ne el signe,

V_ε = B·a·v

on a és la distància entre els rails, menor que la longitud L de la vareta, i v la velocitat de la vareta.

D'acord amb la segona llei de Kirchhoff la suma de fems és igual al producte de la intensitat per la resistència total del circuit,

-V_ε + V₀ = i·R

El corrent produït per la bateria té el sentit de las agulles del rellotge, mientras que el sentido de la corrent inducida, de acuerdo a la llei de Lenz, es contrario a las agulles del rellotge, d'ací que els signes de Vε i V0 siguen contraris.

Equació del moviment de la vareta

Un corrent i que circula per la porció de vareta de longitud a experimenta una força F en el si d'un camp magnètic uniforme B, F = i·ut×B·a

on u_t és un vector unitari que assenyala la direcció i el sentit del moviment dels portadors de càrrega (positius).

Com que el camp magnètic B és perpendicular a la vareta, el mòdul de F és

F = i·B·a

F és un vector paral·lel als rails i té un sentit cap a la dreta, com s'assenyala en la figura.

Si menyspreem la força de fregament entre la vareta i els rails l'equació del moviment de la vareta de massa m és

o bé,

• Velocitat de la vareta

L'equació del moviment s'escriu

Amb las condicions inicials següents: en l'instant t = 0, v = 0, obtenim

La velocitat augmenta des de zero fins que arriba a un valor límit constant v_f en un temps teòricament infinit.

Un comportament semblant al d'una esfera que es mou en el si d'un fluid viscós.

• Intensitat del corrent

Coneguda la velocitat v determinem la intensitat i del corrent que circula pel circuit,

La intensitat disminueix exponencialment amb el temps, es fa zero al cap d'un temps teòricament infinit; en la pràctica ve determinat pel valor de la constant de temps k.

• Posició de la vareta

Integrant respect del temps l'expressió de la velocitat v obtenim la posició x de la vareta en funció del temps t; amb les condicions inicials següents: en l'instant t = 0, la vareta arranca de l'origen, x = 0,

Estudi energètic

• L'energia subministrada per la bateria entre l'instant inicial t = 0 i l'instant t és

• L'energia dissipada en la resistència durant aquest mateix temps és

• L'energia cinètica de la vareta en l'instant t és

Com podem comprovar,

E₀ = E_R + E_k

Una part de l'energia subministrada per la bateria es dissipa en la resistència i l'altra part es converteix en energia cinètica de la vareta. Al cap d'un temps teòricament infinit la meitat de l'energia subministrada per la bateria s'ha dissipat en la resistència i l'altra meitat s'ha convertit en energia cinètica.

Activitats

S'introdueix:

• El camp magnètic B (en gauss) en el control d'edició camp magnètic.
• La distància entre els rails, a (en cm), en el control d'edició Distància rails.
• El material del qual està feta la vareta que llisca, en el control de selecció Material.
• La diferència de potencial V₀ entre els terminals de la bateria s'ha fixat en el programa en 0.001 V.
• La longitud de la vareta L s'ha fixat en 50 cm.

Es pitja el botó Comença.

El programa proporciona els dades de la densitat i de la resistivitat dels materials:

Font: Koshkin, Shirkévich. Manual de Física elemental. Ed. Mir (1975), pàgs. 36, 139.

Exemple:

Triem com a material l'alumini.

Introduim:

• el valor del camp magnètic B = 100 gauss = 0.01 T;
• la distància entre rails a = 40 cm = 0.4 m;
• la massa de la vareta és m = ρ·L·S;
• la resistència de la porció de vareta compresa entre els contactes amb els riells és R = r·a/S,

on S és la secció de la vareta.

La constant de temps k val

La velocitat final v_f de la vareta és

Com podem observar, al cap d'uns pocs segons la vareta arriba a una velocitat constant, i la intensitat tendeix a zero.

Al costat de la vareta es dibuixen els vectors camp magnètic B , el vector u_t que assenyala la direcció i el sentit del moviment dels portadors de càrrega, i el vector força F que fa el camp magnètic sobre el corrent i que circula per la vareta. Fixeu-vos que:

• el camp magnètic és constant,
• la intensitat i disminueix amb el temps, fins que es fa zero,
• la força tendeix a zero, i la velocitat de la vareta es fa constant i igual a la velocitat límit v_f..

La intensitat ve indicada pel moviment de punts de color roig (portadors de càrrega positius) al llarg del circuit constituït per la bateria, els rails i la vareta.

A l'esquerra de la miniaplicació (applet) un diagrama assenyala, en cada instant t:

• l'energia cinètica E_k de la vareta (un sector en color blau),
• l'energia dissipada en la resistència E_R (un sector en color roig),
• la suma de les dues, que és l'energia subministrada per la bateria, E_B, el cercle complet.

En la part superior esquerra de l'applet es proporcionen les dades relatives:

• l'instant t, en s;
• la posició x de la vareta, en cm;
• la velocitat v de la vareta, en cm/s.