Dinàmica celest

Activitats

En aquesta página, anem a comprovar la formació d'un anell al voltant d'un planeta. Suposarem que el planeta té un satèl·lit amb forma de disc amb el seu diàmetre dirigit cap al centre del planeta i que el centre del disc descriu una òrbita circular.

En un cert moment, el satèl·lit és trenca en múltiples fragments. Estudiarem el moviment de cadascun d'ells, i veurem com, al cap de cert temps, és disposen formant un anell al voltant del planeta. Per a simplificar el problema, suposarem que els fragments són masses puntuals, i que la seua atracció, mútua és negligible front a l'atracció dominant del planeta.

Descripció

Aplicarem la dinàmica del moviment circular uniform per a descriure el moviment del centre de masses d'un satèl·lit de massa m en òrbita circular de radi R al voltant del planeta de massa M.

La segona llei de Newton expressa que la força d'atracció és igual al producte de la massa per l'acceleració normal.

D'aquesta equació s'aïlla la velocitat lineal vc del centre del satèl·lit i la velocitat angular w de rotació, que són , respectivament La velocitat v0 d'un fragment el planeta en forma de disc a una distància r0 del centre del planeta valv0=w r0.

En el moment en el qual és trenca el satèl·lit l'energia i el moment angular de cada fragment valen, respectivament

Perquè els fragments és mantinguen descrivint òrbites al voltant del planeta, és necessari que les seues energies totals siguen negatives (E<0). Això imposa una grandària màxima al satèl·lit. La distància del fragment del satèl·lit més allunyat del centre del planeta ha de ser inferior a . Per tant, el diàmetre del satèl·lit haurà de ser inferior a

Com que la força que actua sobre cada fragment és central i conservativa, les magnituts energia total E i moment angular L, es mantenen constants al llarg de la seua trajectòria, una el·lipse, que en coordenades polars

El període de l'òrbita d'un fragment val

sent a el semieix major i b el semieix menor d'òrbita el·líptica.

Introduïnt en els paràmetres d i excentricitat e els valors de l'energia i del moment angular de cadascun dels fragments, s'obté

Per a obtenir el valor del període, hem de calcular el semieix major a i el semieix menor b de l'el·lipse. Ja hem vist que la relació entre els semieixos de l'el·lipse i la semidistància focal c és

i la relació entre el semieix major a de l'el·lipse i les distàncies més allunyada r₁ i més propera al focus r₂.

Efectuant algunes operacions, obtenim el període P d'un fragment situat a una distància inicial r₀ del centre del planeta.

on P₀ és el període del centre del satèl·lit en la seua òrbita circular.

Veiem, per tant, que diferents fragments tenen períodes distints, la qual cosa dóna lloc a que es retarden o s'avancen respecte del centre del satèl·lit original. En la següent taula es proporcionen alguns valors

Activitats

• En el programa, el radi de l'òrbita circular del satèl·lit al voltant del planeta es pren com a unitat, s'introdueix el diàmetre del satèl·lit menor que 0.5 en el control d'edició anomenat Diàmetre del satèl·lit.

• S'introdueix el nombre de fragments en què es trenca el satèl·lit en el control d'edició anomenat Nombre de fragments.

• S'observa el moviment del satèl·lit pitjant el botó anomenat Nou.

• S'observa el moviment dels fragments del satèl·lit pitjant el botó anomenat Trenca.

Per a observar un anell format pels fragments del satèl·lit girant al voltant del planeta, introdueix valors com ara

• Diàmetre del satèl·lit, 0.01
• Nombre de fragments, 100.