Força central i conservativa La Terra, la Lluna, el Sistema Solar
|
||
|
En primer lloc s'enunciaran les tres lleis de Kepler; després es justificaran a partir de la llei de la gravitació de Newton, la qual prediu que, a més de les òrbites el·líptiques, els cossos celestes poden seguir altres òrbites (paràboles i hipèrboles) que són còniques. Hi ha diverses aproximacions per tal de determinar l'equació de la trajectòria d'un cos que es mou sota l'acció d'una força central i conservativa, inversament proporcional al quadrat de la distància. S'escriuen les ecuacions de la constància de l'energia mecànica i del moment angular en coordenades polars i s'obté l'equació de la trajectòria mitjançant la integral d'una funció irracional. Hi ha d'altres aproximacions matemàticament complexes, i alguns llibres de text ni tan sols es plantegen l'obtenció de la trajectòria (Tipler, Serway, etc.). Diversos autors (Vogt 1996 i Trier 1992) tracten d'enfocar el problema des d'una perspectiva més simple. La deducció més original la descriu el primer autor, que es basa en una forma inusual de l'equació de l'el·lipse. Si bé la deducció es limita a trajectòries tancades, el·líptiques, té l'avantatge que la comprovació de les lleis de Kepler és immediata, a partir de les propietats central i conservativa de la força d'atracció. S'ha dissenyat una miniaplicació (applet) que estudia el moviment dels planetes. Verifica les propietats central i conservativa de la força d'atracció. Es comprova que el moment angular i l'energia romanen constants, que les òrbites confinades (el·líptiques) tenen energia negativa i les obertes (hipèrboles) energia positiva. Es mesura per a cada trajectòria el·líptica la velocitat i la distància del planeta al periheli i a l'afeli, i el temps que tarda en fer una volta completa. A partir d'aquestes dades es comprova la constància del moment angular. Es relaciona el semieix major a de l'el·lipse amb el període P de revolució, i es comprova la tercera llei de Kepler P2 = ka3. Per tal d'afermar els concepts explicats s'han dissenyat miniaplicacions (applets) en forma de problemes-joc. Per a resoldre'ls s'han d'aplicar la dinàmica del moviment circular, la tercera llei de Kepler, i la constància del moment angular i de l'energia. És important assenyalar la importància històrica de les lleis de Kepler com a descripció cinemàtica del moviment dels planetes. Com la dinàmica del moviment circular uniforme i la tercera llei de Kepler, aplicades al moviment de la Lluna, van conduir Newton a formular la llei de la Gravitació Universal, força inversament proporcional al quadrat de la distància, i a identificar com que tenien la mateixa naturalesa les causes del moviment de la Lluna al voltant de la Terra i de la caiguda dels cossos en la seua superfície. Finalment estudiarem el moviment sota una força central i conservativa inversament proporcional al quadrat de la distància al centre de forces, i una pertorbació que correspon a una força inversament proporcional al cub de la distància. Obtindrem explícitament l'equació de la trajectòria en coordenades polars, i la representarem per a tots els casos possibles. L'atractiu d'aquest exercici resideix en la simetria que exhibeixen la representació gràfica d'algunes trajectòries. |
Comentaris