Dinàmica cel·lest

Moviment de caiguda cap a la Terra

Aproximacions

Activitats

Referències

En aquesta pàgina, s'estudia el moviment de caiguda d'un satèl·lit artificial, que s'ha posat en òrbita circular al voltant de la Terra a una alçada h per damunt de la seua superfície. Suposarem que la Terra està envoltada per una atmosfera formada per una capa de gas de densitat uniforme, el radi exterior del qual és major que el de l'òrbita del satèl·lit, de manera que, la força de fregament que exerceix sobre el satèl·lit és constant.

En realitat, l'atmosfera està formada per diverses capes, definides d'acord amb la variació vertical de la temperatura:

• la troposfera, la temperatura descendeix amb l'alçada a raó de 0,6ºC cada 100 m.
• l'estratosfera, la temperatura roman pràcticament constant
• l'mesosfera, la temperatura augmenta i després disminueix
• la termosfera, la temperatura crece regularmente amb l'alçada.

També se sol subdividir l'atmosfera en capes d'acord a la composició química:

• l'homosfera (fins a 100 km), els constituents principals de l'aire (oxigen i nitrogen) romanen en proporció constant.
• l'heterosfera (de 100 km a 1000 km), predominen els gasos lleugers, hidrogen, nitrogen, heli.
• l'exosfera (a partir de 1000 km), les molècules més lleugeres escapen cam a l'espai exterior vencent la força d'atracció de la Terra.

En el capítol Física Estadística i Termodinàmica, s'estudia un model simple d'atmosfera d'un planeta, la presió i la densitat disminueixen exponencialment amb l'alçada, suposant que la temperatura roman constant.

La força de fregament sobre el satèl·lit dependrà, en general, de la seua forma, de la densitat de l'aire i de la velocitat del satèl·lit, per la qual cosa l'equació del moviment resultarà bastant complicada. En aquesta pàgina, farem algunes aproximacions que ens permetran descriure de forma senzilla el moviment del satèl·lit.

Òrbita circular

Considerem un satèl·lit artificial que descriu una òrbita circular al voltant de la Terra de radi R. Aplicant l'equació de la dinàmica del moviment circular uniforme obtenim:

on G = 6.67·10^-11 Nm²/kg² i M = 5.98·10²⁴ kg és la masa de la Terra i el seu radi és de 6370 km.

Com veiem en la figura, quan el satèl·lit descriu una òrbita circular, la velocitat és perpendicular a la direcció radial, o a la direcció de la força d'atracció.

Per ser la força d'atracció conservativa, l'energia del satèl·lit artificial és constant en tots els punts de la circumferència que descriu.

La energia total E és la meitat de l'energia potencial, i és negativa.

Moviment de caiguda cap a la Terra

Quan el satèl·lit artificial cau cap a la Terra, descriu una espiral. L'angle que forma la velocitat amb la direcció radial ja no és 90º sinó un angle 90º-φ un poc més menut. En altres paraules, la direcció de la velocitat està lleugerament per davall de la direcció horitzontal local. La direcció normal (perpendicular a la direcció de la velocitat) ja no coincideix amb la direcció radial sinó que formen un angle φ.

En la figura, es mostren les forces sobre el satèl·lit quan està a una distància r del centre de la Terra.

• La força d'atracció F
• La força de fregament F_r que suposarem constant i de sentit oposat a la velocitat.

Descomponem la força F en la direcció de la velocitat (tangencial), i en la direcció perpendicular a la velocitat (normal).

Las equacions del moviment en la direcció tangencial i en la direcció normal són :

ma_t = F·sinφ-F_r
ma_n = F·cosφ

• la primera ens mostra com canvia el mòdul de la velocitat v del satèl·lit amb el temps.
• la segona, com canvia la direcció de la velocitat

On r_c és el radi de corbatura de la trajectòria, un valor diferent al radi r de la trajectòria circular amb centre en la Terra.

Solució numèrica

Podem plantejar les equacions del moviment en coordenades rectangulars:

max = -F·cosθ+Fr·sin(θ+φ) may = -F·sinθ-Fr·cos(θ+φ) amb x = r·cosθ    i = r·sinθ vx = -v·sin(θ+φ)  vy = v·cos(θ+φ)

Les dues equacions del moviment es transformen en un sistema de dues equacions diferencials de segon ordre, que es resolen per procediments numèricos, amb les condicions inicials t = 0, x = R, i = 0, v_x = 0, v_y = v₀. On v₀ és la velocitat del satèl·lit artificial quan descriu una òrbita circular inicial de radi R.

Aproximacions

Fent algunes aproximacions, podem descriure l'equació del moviment del satèl·lit artificial d'una forma simple.

Si suponem que l'angle φ és menut i que, per tant, la component de la velocitat v al llarg de l'horitzontal local és vH = v·cosφ≈v, i que la component radial vR és menuda, per la qual cosa sinφ≈tanφ = -vR/vH

L'equació

seria la d'un satèl·lit que està descrivint una òrbita circular de radi r amb velocitat v_H = v·cosφ

Simplificant m i r i a continuació, derivant respecte a r, obtenim:

L'acceleració tangencial val, emprant la regla de la cadena

D'aquestes dues últimes equacions arribem a

Amb aquesta aproximació, l'equació del moviment en la direcció tangencial

ma_t = F·sinφ-F_r

s'escriu

L'angle que forma el vector velocitat amb l'horitzontal local és

Arribem a la la conclusió paradoxal següent

La força de fregament incrementa el mòdulv de la velocitat del satèl·lit. En realitat, és la resultante de les dues forçes (atracció i fregament) la que té una component en la direcció de la velocitat del satèl·lit, com pot comprovar-se fàcilment a partir dels esquemes d'aquesta pàgina.

Les equacions que ens permeten obtenir la posició del mòbil en coordenades polars (r, θ) en funció del temps t són :

On v₀ és la velocitat del satèl·lit artificial en l'òrbita circular inicial de radi R, que descriu en l'instant inicial t = 0.

L' energia inicial del satèl·lit artificial, l'hem calculat en l'apartat anterior. L'energia final, suposant una vegada més que el satèl·lit artificial descriu una òrbita quasi circular de radi r amb velocitat v, serà

L'energia perduda a causa del fregament del satèl·lit artificial amb l'atmosfera és la diferència

Activitats

L'objectiu del programa interactiu no és el de realitzar un càlcul de la posició i de la velocitat del satèl·lit artificial, sinó la de mostrar la seua trajectòria en forma d'espiral, com augmenta la seua velocitat a mesura que descendeix.

S'introdueix

• L'alçada del satèl·lit en km, per damunt de la superfície de la Terra movent el dit en la barra de desplaçament anomenada Alçada.

• El quocient F_r/m de la força de fregament F_r a la masa m del satèl·lit movent el dit en la barra de desplaçament anomenada Fregament.

Polsa el botó on posa Comença.

S'observa el moviment del satèl·lit al voltant de la Terra, fins que xoxa amb la seua superfície, una circumferència de color blau representa l'òrbita circular inicial.

Es proporcionen les dades del temps en hores, la velocitat en m/s i l'alçada en km sobre la superfície de la Terra.

A l'esquerra, es representa mitjançant barres de colors els canvis energètics:

• en color blau, l'energia cinètica que és positiva
• en color roig, l'energia potencial que és negativa
• una ratlla de color clar, indica l'energia total E, per unitat de massa m, el valor de la qual es mostra en milions de J/kg.
• una barra de color negre senyala la diferència entre l'energia inicial i la final, o la pèrdua d'energia degut al fregament a mesura que cau el satèl·lit cap a la superfície de la Terra.

Exemple:

Introduïm les dades

• Alçada h = 5000 km

• Fregament F_r/m = 0.025

Calculem l'angle que forma la direcció de la velocitat amb l'horitzontal local

L'angle φ és molt menut o i va disminuint a mesura que el satèl·lit artificial s'apropa a la Terra.