Dinàmica celest

Comparació amb la desviació obtinguda aplicant la fórmula de l'acceleracióde Coriolis

Activitats

La desviació cap a l'est d'un cos que cau s'explica en els llibres de Física General des del punt de vista d'un observador situat en un sistema de referència en rotació. S'introdueixen els sistemes de referència no inercials i es dedueixen les fórmules de les anomenades forces fictícies (força centrífuga i de Coriolis).

Un cos que cau en l'hemisferi nord és desviat cap al sud per la força centrífuga i cap a l'est per la força de Coriolis.

Aci descriurem des del punt de vista d'un observador inercial la caiguda d'un cos des d'una altura determinada sobre la superfície d'un planeta en rotació. Suposarem que estem en el pla equatorial del planeta.

Descripció

Suposem un planeta de massa M i de radi R que té un moviment de rotació amb velocitat angular w. Un observador situat en la superfície del planeta veu com cau un cos de massa m des d'una altura h per damunt de l'observador.

Per a un observador inercial no lligat al moviment de rotació del planeta el cos es llança des d'una distància r = R + h del centre del planeta amb una velocitat inicial v1= w·r. Des del punt de vista d'aquest observador el cos es mou sota l'única influència de la força d'atracció del planeta. Descriuirà, per tant, una òrbita el·líptica en un dels focus de la qual estarà el centre del planeta. Els passos de la discussió present seran els següents:

• Càlcul de la trajectòria el·líptica del cos
• Intersecció de la trajectòria amb la superfície del planeta
• Temps que tarda en xocar amb la superfície
• Determinació de la seua desviació, respecte de la direcció radial, per l'observador no inercial, o en rotació amb el planeta

Equació de la trajectòria el·líptica

L'equació d'una el·lipse en coordenades polars és

Els valors del paràmetre d i de l'excentricitat e es calculen a partir de l'energia E i del moment angular L de la partícula,

Exemple: Considerem el planeta Terra amb les dades següents,

• Massa M = 5.98·10²⁴ kg
• radi R = 6.378·10⁶ m
• Velocitat angular de rotació w = 2p/(24·60·60) rad/s
• Constant de la gravitació G = 6.67·10^-11 Nm²/kg²

Suposem que el cos es deixa caure des d'una altura h = 0.1·R = 6378 km, o bé des d'una distància r₁ = 7.02·10⁶ m:

• la seua velocitat és v₁ = w ·r₁ = 510.2 m/s
• el seu moment angular val L = 3.58·10⁹· m kgm²/s
• la seua energia total serà E = -5.67·10⁷·m J

Els paràmetres d i e de la trajectòria s'obtenen mitjançant les fórmules

Coneguts els paràmetres d i e de l'equació de la trajectòria s'obtenen r₂ i r₁:

- quan q = 0º, r₂ = 16098 m
- quan q = 180º, r₁ = 7.02·10⁶ m

Una altra manera:

No cal fer servir aquestes dues fórmules per a calcular l'equació de la trajectòria; hi ha un altre camí:

Coneguts r₁ i v₁ es calculen r₂ i v₂ aplicant la constància del moment angular i de l'energia,

Com en l'equació de la trajectòria, el valor de r₁ s'obté per a q = 180º,

i el valor de r₂ s'obté per a q = 0º,

D'aquestes dues equacions aïllem d i e .

Intersecció amb la superfície del planeta

S'ha de trobar la intersecció d'una el·lipse i d'una circumferència de radi R. Si posem en l'equació de la trajectòria r= R i aïllem l'angle q, Exemplo: Amb les dades anteriors, cosq i = -0.9995, i obtenim un angle d'intersecció q i = 178.3º.

Temps que tarda en xocar amb la superfície

Per a calcular el temps que tarda el cos des que es deixa caure fins que xoca amb la superfície del planeta en el punt P emprarem la llei de les àrees.

En coordenades polars el moment angular s'expressa

Com hem vist, l'àrea agranada pel radi vector entre l'instant t i l'instant t+dt és un triangle diferencial d'àrea r²·dq/2.

L'àrea agranda pel radi vector en el temps t és

Si calculem l'àrea A ombrejada en color blau clar obtenim el temps t.

L'àrea A ombrejada és la suma de l'àrea d'un triangle i l'àrea de la porció d'el·lipse de la figura.

L'àrea del triangle és

L'àrea de la porció d'el·lipse A₂ es pot calcular si sumem les àrees dels elements infinitesimals y·dx compresos entre x₁ = –a i x₂ = –R·cos(p-q _i) + c, on a és el semieix major de l'el·lipse, a = (r₁+r₂)/2, i c és la semidistància focal, c = e ·a.

L'equació de l'el·lipse en coordenades rectangulars és

Com que x₁ = –a, l'expressió es redueix a

on x₂ = –R·cos(p -q _i)+e a.

Si x₂ = +a, obtenim la meitat de l'àrea de l'el·lipse, pab/2.

Exemple

Si seguim amb les dades anteriors tenim que

• El semieix major de l'el·lipse és a = (r₁+r₂)/2 = 3.52·10⁶ m
• La semidistància focal, c = e·a = 3.50·10⁶ m
• El semieix menor
  
  val b = 3.36·10⁵ m

• L'àrea A₁= 6.17·10¹¹ m²
• L'àrea A₂ = 8.43·10¹⁰ m²
• L'àrea total és A = 7.0·10¹¹ m²

Ara tan sols queda aïllar el temps de l'equació

i obtenim t = 391.6 s

Determinació de la desviació respecte de la direcció radial, per l'observador no inercial, o en rotació amb el planeta

Després d'un temps t el cos xoca amb la superfície del planeta en P. La posició angular del punt P és p-q i. Mentres, l'observador s'ha desplaçat al punt O, la posició angular del qual és w ·t. La distància al llarg de la superfície del planeta entre O i P és la longitud de l'arc s = R·(p -q i - w ·t) Amb les dades que tenim, s = 11837 m

Comparació amb la desviació obtinguda aplicant la fórmula de l'acceleració de Coriolis

Comparem la desviació cap a l'est d'un cos que es deixa caure des d'una altura h en l'Equador mitjançant el procediment explicat en aquesta pàgina, amb la desviació obtinguda aplicant la fórmula de l'acceleració de Coriolis.

1. La força d'atracció és central i conservativa. La trajectòria que segueix el cos en la seua caiguda és el·líptica.

Siga h = 0.01·R = 63780 m, a prop de la superfície de la Terra.

Les dades inicials necessàries per a determinar la trajectòria el·líptica són:

r₁ = R + h = 6.44·10⁶ m
v₁ = w ·r₁= 468.5 m/s

De la constància del moment angular i de l'energia obtenim r₂ i v₂. Tan sols ens interessa r₂ = 11436 m.

• El semieix major de l'el·lipse val a = (r₁+r₂)/2 = 3.35·10⁶ m
• La semidistància focal, c = r₁ - a = 3.09·10⁶ m
• L'excentricitat, e = c/a = 0.996
• El semieix menor
  
  val b =2.71·10⁵ m

El paràmetre d = a·(1- e²) = 22831.2 m

L'angle q _i = 179.52º

L'àrea total A = A₁ + A₂ = 1.715·10¹¹ + 2.30·10⁹ = 1.74·10¹¹

El temps t que tarda en arribar el mòbil a la superfície de la Terra, t = 2A/(r₁·v₁) = 115.21 s

La desviació del cos respecte de l'observador en la superfície terrestre,

s = R·(p - q _i -w·t) = 355.43 m

2. Caiguda d'un cos descrita per un observador en rotació (no inercial)

Temps que tarda en arribar a la superfície de la Terra si cau des d'una altura h = 63780 m.

Amb h = gt²/2, prenem g = 9.8 i obtenim t = 114.1 s

Apliquem la fórmula de la desviació per a la latitud l = 0º,

Obtenim un valor molt paregut, malgrat que g és més petit que 9.8 a causa de l'acceleració centrífuga i perquè disminueix amb l'altura.

Activitats

Trieu un planeta entre els següents:

Font: M. Márov. Planetas del Sistema Solar. Editorial Mir.

S'introdueix l'altura sobre la superfície del planeta, una fracció del radi del planeta.

Es pitja el botó Comença.

L'objecte que està a una altura h per damunt de l'observador no inercial situat en la superfície del planeta comença a caure. La seua trajectòria, per a un observador inercial, és una porció d'una el·lipse; al mateix temps que l'objecte cau l'observador no inercial descriu un moviment circular. L'observador inercial mesura el desplaçament dels dos durant el temps de caiguda del cos.

L'observador no inercial situat en la superfície del planeta mesura el desplaçament relatiu del cos, la longitud de l'arc de circumferència entre la posició que ocupa l'observador (un punt de color roig) i el punt d'impacte del cos sobre la superfície del planeta.

La desviació cap a l'est del cos que cau és petita per als planetes que tenen velocitat de rotació molt baixa, com ara Venus, i és molt acusada per a planetes amb velocitat angular de rotació elevada, com ara Júpiter.