Dinàmica celest

Càlcul de l'acceleració de la gravetat en el pol

Una superfície equipotencial

Referències

La forma de la Terra i dels altres planetes no és la d'una esfera sinó la d'esferoide aplatat pels pols a causa del moviment de rotació al voltant dels seus eixos. En aqueesta pàgina s'estableix la relació entre els radis equatorial i polar per dos procediments diferents.

La direcció de la plomada

A causa de la rotació de la Terra, la direcció radial no coincideix amb la direcció vertical, o amb la direcció de la plomada que és una corda, de la qual penja un troç de plom, que fan servir els obrers o paletes per a comprovar la verticalitat de les parets que construeixen.

La Terra considerada comuna esfera de radi R

Suposem una massa puntual m que penja d'una corda, situada en un lloc de l'hemisferi nord, a una latitud λ. La Terra gira sobre l'eix amb velocitat angular constant, ω. La partícula m descriu una circumferència de radi R·cos λ,  on R és el radi de la Terra per a un observador inercial.

La resultant de les forces que actuen sobre la partícula éss igual al producte de la seua massa per l'acceleració normal a_n= ω²R·cos λ, i estarà dirigida cap al centre de la circumferència que descriu la partícula.

Les forces  que actuen sobre la partícula són:

• La força d'atracció de la Terra, que té direcció radial i està dirigida cap al seu centr; el mòdul és

• La tensió T de la corda que subjecta la partícula, i que forma un angle φ amb la direcció radial, com s'aprecia en la figura.

La partícula està en equilibri al llarg de l'eix Y,

T·sin(λ+φ) - mg₀·sinλ = 0

La partícula té una acceleració a_n al llarg de l'eix X,

Tcos(λ+φ) - mg₀·cosλ = -mω²R·cos λ

Eliminem T en el sistema de dues equacions i obtenim

       (1)

on hem pres R = 6.37·10⁶ m, ω = 2π/(23.93·60·60) rad/s i g₀ = 9.81 m/s².

Després d'algunes operacions trigonomètriques aïllem l'angle φ que forma la plomada amb la direcció radial

Com que α és petit en comparació amb la unitat, i l'angle φ és petit, podem escriure

A la latitud corresponent al nord de la península ibèrica,un poc més de λ = 43º, tenim que φ = 0.099º.

La forma de la Terra

La direcció de la plomada és la mateixa que la de l'acceleració de la gravetat efectiva g. La forma de la superfície de la Terra serà perpendicular a g en cadascun dels seus punts.

La tangent a la superfície de la Terra en un punt de latitud λ és perpendicular a la direcció de la plomada, o direcció vertical en aquest punt. Si recordem que el pendent de la tangent a una corba y = f(x) en x₀ és el valor de la derivada dy/dx de la funció en aquest punt, com veiem en la part esquerre de la figura,

En la part dreta de la figura tenim que tanλ = y/x.

A partir de l'expressió (1) obtenim l'equació diferencial que descriu la forma de la superfície de la Terra,

Integrem aquesta equació

(1-α)x² + y² = c

on c és una constant d'integració. Determinem els radis equatorial a i polar b tenint en compte que per a y = 0, x = a, i per a x = 0, y = b,

L'equació de la superfície de la Terra és la d'una el·lipse

L'esclafament de la Terra és el quocient

Els valors mesurats dels dos radis equatorial i polar de la Terra són, respectivament,

a = 6 378 137 m, b = 6 356 752 m

el que dóna un esclafament f = 3.35·10^-3 que és aproximadament el doble de l'obtingut anteriorment.

Per tal d'explicar la discrepància s'ha de tenir en compte que la llei de la Gravitació Universal

s'aplica a dues masses puntuals M i m separades una distància r, o a una distribució esfèrica de massa M i una partícula de massa m situada a una distància r major que el radi de l'esfera. En el cas que el cos tinga una forma distinta a una esfera s'ha de calcular la força que produeix cadascun dels elements de volum del cos extens sobre la partícula considerada; les components d'aquestes forces i la resultant les veurem en l'apartat següent.

Per a una Terra amb forma d'esferoide es desenvolupa l'energia potencial gravitatòria en harmònics esfèrics (vegeu la referència 1) per tal de calcular g₀ en funció de la latitud λ i de l'angle que forma amb la direcció radial.

Càlcul de l'acceleració de la gravetat en el pol

L'acceleració de la gravetat en un punt P situat a una distància r de la massa puntual M es defineix com la força que actua sobre la unitat de massa situada en aquest punt,

g = F_g/m

En aquest apartat mostrarem la dificultat que presenta el càlcul de l'acceleració de la gravetat g en el pol, produïda per una distribució uniforme de massa en forma d'elipsoide de revolució de semieixos horitzontal a i vertical b, amb a > b.

Si Z és l'eix que passa pels pols, per simetria l'acceleració de la gravetat en el pol tindrà la direcció de l'eix Z i el sentit cap al centre de l'elipsoide.

Per a calcular-ne el mòdul g dividirem l'elipsoide en discos de radi y i de gruix dz. Calculem la intensitat del camp gravitatori en el punt de coordenades (0, 0, b), produït per cadascun dels discos.

El primer pas consisteix a calcular el camp produït per l'anell de radi x, d'amplària dx i de gruix dz, en el pol, situat a una distància b-z de l'anell.

Si ρ és la densitat constant de la distribució uniforme de massa, la massa continguda en l'anell és ρ·2πx·dx·dz. El camp produït per aquesta massa és

Per simetria, les components horitzontals (al llarg de l'eix X i Y) d'aquest camp s'anul·len de dos en dos (fletxes de color roig en la figura del centre) i queda tan sols la component Z,

Integrem respecte de la variable x entre els límits 0 i y per tal de calcular el camp total produït pel disc de radi y i de gruix dz,

Relacionem la variable y i z per tal d'integrar respecte de la variable z entre els límits –b i b. L'equació de l'el·lipse de semieixos a i b és

L'acceleració de la gravetat en el pol s'obtindrà en integrar

Deixem al lector la resolució d'aquesta integral.

Una superfície equipotencial

Un objecte situat sobre la superfície de la Terra a una latitud λ descriu un moviment circular de radi x = r·cosλ, com es mostra en la figura.

Les forces que actuen sobre l'objecte des del punt de vista d'un observador no inercial que es mou amb la Terra són:

• La força d'atracció gravitatòria F_g que té la direcció radial i el sentido cap al centre de la Terra; i val

on r és la distància entre l'objecte i el centre de la Terra, M és la massa de la Terra i G la constant de la gravitació.

• La força centrífuga F_c dirigida cap al centre de de la circumferència que descriu l'objecte,

F_c = mω²x

on ω és la velocitat angular constant de rotació de la Terra.

La resultant de les dues forces és la tensió T de la corda que subjecta la partícula de massa m.

Forces conservatives. Energies potencials

La força d'atracció F_g és conservativa i la seua energia potencial és

De nou suposem que la Terra és aproximadament esfèrica i no es té en compte el bony produït en l'equador com a conseqüència del moviment de rotació de la Terra.

La força centrífuga depén únicament de la distància x a l'eix de rotació; és, per tant, una força conservativa, l'energia potencial de la qual és

Si prenem el nivell zero de l'energia potencia en l'eix de rotació, x = 0,

L'energia potencial total és la suma de les dues contribucions,

La forma de la Terra és la d'una superfície equipotencial, perquè la direcció vertical (la direcció de la intensitat de la gravetat efectiva g) és perpendicular a la superfície equipotencial en cada punt de'aquesta superfície.

Com que r = b quan λ = π/2, l'energia potencial val Ep = -GMm/b. Així que el valor de b determina la superfície equipotencial que descriu la forma de la superfície de la Terra,

Aquesta no és l'equació d'una el·lipse però s'hi pot aproximar si suposem que a és un poc major que b.

Si r = a quan λ = 0, l'arrel de l'equació cúbica determina a en funció de b, G, M i ω,

Conogut b podem trobar a si emprem un procediment de càlcul numèric.

En la taula següent es proporcionen les dades relatives a la massa en kg, el període de rotació en hores, i els valores enmetres dels radis a (equatorial) i b (polar) d'alguns planetes del Sistema Solar.

Font: Segon article citat en la referència 2.

Amb la dada G = 6.67·10^-11 Nm²/kg², la velocitat angular de rotació per a la Terra és

Per tal de facilitar el càlcul en l'ordinador expressem la distància en unitats de10⁶ m. L'equació que permet calcular a a partir del valor observat de b = 6.356 és

a³ - 23594.12·a + 149964.23 = 0

Aquesta equació es pot transformar en aquesta altra, equivalent,

per tal de trobar l'arrel pel mètode d'iteració, a partir d'un valor inicial pròxim a b, i obtenim el valor a = 6.367.

Aquest petit programa fet amb Java calcula el radi equatorial a de la Terra pel mètode d'iteració (vegeu el Curs de Procediments Numèrics en Llenguatge Java).

public class Planeta{
  public static void main(String[] args) {
        System.out.println(arrel(6.0));
    }

   static double arrel(double x0){
        double x1;
        while(true){
            x1=(x0*x0*x0+149964.23)/23594.12;
            if(Math.abs(x1-x0)<0.001)   break;
            x0=x1;
        }
        return x0;
   }
}

Referències

Mohazzabi P, James M. Plumb line and the shape of the earth. Am. J. Phys. 68 (11) November 2000, 1038-1041.

Iona M. Why is g larger at the poles?. Am. J. Phys. 46 (8) August 1978, 790-791.