Dinàmica celeste

Activitats

Imaginem un míssil llançat verticalment des de la superfície de la Terra, i que en el punt més alt de la seua trajectòria esclata en diversos fragments iguals que ixen en totes direccions amb la mateixa velocitat.

El moviment posterior dels fragments es deu únicament a la força d'atracció de la Terra i, per tant, descriuran òrbites elíptiques si la seua energia total és negativa.

Descripció

El moment angular i l'energia d'un fragment de massa m llançat des d'una distància r0 del centre de la Terra, amb una velocitat v0 i un angle φ amb el radi vector és

Tots els fragments tenen la mateixa energia E, però moment angular L diferent.

En una pàgina prèvia hem demostrat que el semieix major a és independent del moment angular L, i tan sols depén de l'energia total E,

Tots els fragments tenen el mateix semieix major a. Per la tercera llei de Kepler el període de tots els fragments serà el mateix. Tots els fragments ixen al mateix temps del mateix punt i hi regressen després d'un temps igual al període.

Estudiem ara els diferents casos que es poden presentar segons l'angle de llançament.

Quan l'angle φ = 0

Aleshores, el moment angular L = 0; per tant, la trajectòria és una línia recta que passa pel centre de forces. El fragment s'eleva i després cau cap a la Terra al llarg de la direcció radial.

La màxima distància r a la qual s'allunya el fragment es calcula fent v = 0 en l'equació de constància de l'energia i tot seguit s'aïlla r,

La velocitat v amb la qual impacta contra la superfície de la Terra s'obté fent r = R (radi de la Terra) en l'equació de l'energia,

Quan l'angle φ = 180º

El fragment cau directament cap a la superfície de la Terra i hi arriba amb la velocitat v calculada en l'apartat anterior.

Quan l'angle φ = 90º

El fragment descriu una el·lipse que té un eix major de 2a = r + r0. Apliquem la constància del moment angular i de l'energia,

Es resol el sistema de dues equacions amb dues incògnites per tal de calcular r i v.

Quan l'angle és φ

El fragment descriu una el·lipse que té un eix major girat respecto de l'eix X.

Els dos fragments, les velocitats dels quals formen amb el radi vector angles φ i 180-φ, tenen el mateix moment angular i la mateixa energia. Les seues trajectòries són simètriques respecte de l'eix X, com veiem en la figura.

Activitats

S'introdueix:

• La velocitat v₀ del fragment, en el control d'edició Velocitat

• La posició r₀, en el control d'edició Posició

Es pitja el botó Comença.

No s'accepten valors de v₀ i r₀ que donen lloc a una:

• energia E positiva o nul·la

• trajectòria l'apogeu de la qual siga major de 6 unitats

• trajectòria el perigeu de la qual siga menor que 0.1 unitats

Si es compleix algun d'aquestos tres casos, el focus regressa al control d'edició Velocitat per tal que l'usuari hi canvie els valors d'aquestos dos paràmetres.

En el cas que els dos valors siguen acceptats s'observen les trajectòries dels fragments que tenen una velocitat que forma angles de 30º, 60º, 90º, 120º i 150º amb el radi vector.

Observem que totes les trajectòries tenen el mateix eix major i, per tant, els fragments es tornen a trobar en el punt de partida una vegada ha transcorregut un període P.

Eixemples

Per tal de resoldre aquestos exemples s'adopta un Sistema d'Unitats tal que GM = 1.

Suposem que introduïm els valores següents:

• Posició, r₀ = 3.0

• Velocitat, v₀ = 0.5

Quan l'angle és φ = 0

La distància màxima a la qual arriba el fragment en la direcció radial és

Quan φ = 90

Primer calculem la velocitat d'escapament a la distància r₀ = 3.0, que és

Després calculem la velocitat i la distància màxima o mínima al centre de forces

L'eix major de l'el·lipse és 2a = 3.0 + 1.8 = 4.8

Quan l'angle és φ = 30

El moment angular val L = 0.5·3·sin30º = 0.75

L'energia val E = 0.5²/2 - 1/3 = -0.21

Calculem l'excentricitat ε de l'el·lipse i el paràmetre d

ε² = 1 - 2·0.75²·0.21 = 0.77

d = 0.75² = 0.5625

La distància mínima del fragment al centre de forces es produeix quan la posició angular θ = 0º i la màxima quan θ = 180º,

L'eix major de l'el·lipse és 2a = r_min+ r_máx= 4.8

L'eix major de l'el·lipse es pot obtenir de manera directa mitjançant la fórmula

El període de tots els fragments és