Dinàmica celest |
Lleis de Kepler El descobriment de la llei de la gravitació
Equació de la trajectòria Moviment dels cossos Encontres espacials Òrbita de transferència Encontre d'una sonda espacial amb Júpiter Òrbites de la mateixa energia Trajectòria d'un projectil Moviment relatiu Caiguda d'un satèl·lit Els anells d'un planeta Moviment sota una força central i una pertorbació |
Força d'atracció entre els cossos | |
Força d'atracció entre els cossos
La interacció entre dos cossos de massa M i m es descriu en termes d'una força atractiva, la direcció de la qual és la recta que passa pel centre dels dos cossos i el mòdul de la qual ve donat per l'expressió
G és la constant de la gravitació universal, G = 6.67·10-11 Nm2/kg2, i r és la distància entre els centres dels cossos.
Força centralLa força d'atracció entre un planeta i el Sol és central i conservativa. La força de repulsió entre una partícula alfa i un nucli és també central i conservativa. En aquest apartat estudiarem la primera, i deixarem per a més endavant la segona, en l'estudi del fenomen de la dispersió, que tanta importància va tenir en el descobrimint de l'estructura atòmica. Una força és central quan el vector posició r és paral·lel al vector força F. El moment de la força, doncs, s'anul·la: M = r´F = 0. De la relació entre el moment de les forces que actuen sobre la partícula i el moment angular, (teorema del moment angular), es conclou que
El moment angular roman constant en mòdul, direcció i sentit. El moment angular L d'una partícula és el vector resultat del producte vectorial L = r´mv, la direcció del qual és perpendicular al pla determinat pel vector posició r i pel vector velocitat v. Com que el vector L roman constant en direcció, r i v estaran en un pla perpendicular a la direcció fixa de L. D'ací es conclou que la trajectòria del mòbil estarà continguda en un pla perpendicular al vector moment angular L. Quan els vectores r i v són paral·lels, és a dir, la direcció del moviment passa per l'origen, el moment angular L = 0. La partícula descriu un moviment rectilini amb una acceleració no constant. Força conservativaSuposem que una partícula de massa m es mou des de la posició A fins la posició B en les proximitats d'un cos fixe de massa M.
Calculem el treball fet per la força d'atracció F, El treball infinitesimal és el producte escalar del vector força F pel vector desplaçament dl, tangent a la trajectòria, dW = F·dl = F·dl·cos(180-θ) = -F·dl·cosθ = -F·dr on dr és el desplaçament infinitesimal de la partícula en la direcció radial. Per a calcular el treball total integrem entre la posició inicial A, distant rA del centre de forces, i la posició final B, distant rB del centre fix de forces,
El treball W no depén del camí que segueix la partícula per a anar des de la posició A a la posició B. La força d'atracció F que fa el cos fix de massa M sobre la partícula de massa m és conservativa. La fórmula de l'energia potencial és El nivell zero d'energia potencial s'ha establert en l'infinit, per a r = ∞, Ep= 0. El fet que la força d'atracció siga conservativa implica que l'energia total (cinètica més potencial) de la partícula és constant, en qualsevol punt de la trajectòria,
Caiguda lliure des de distàncies gransExaminem la situació més senzilla, aquella que el moment angular L = 0, (moviment rectilini), i tan sols és necessari aplicar el principi de conservació de l'energia.
En el capítol de Cinemàtica hem estudiat el moviment de caiguda dels cossos suposant que partien d'una altura h << R petita en comparació amb el radi de la Terra. El temps t i la velocitat v amb la qual arriba el cos a la superfície de la Terra es calculen mitjançant les equacions h = gt2/2 on g és l'acceleració de la gravetat en les properies de la superfície de la Terra, que suposarem constant,
Descriguem ara el moviment d'un cos que es deixa caure des d'una distància r > R del centre de la Terra fins que n'arriba a la superfície. Com que la força d'atracció depén de la distància r entre el centre de la Terra i l'objecte, l'acceleració no és constant. Tanmaeix, el principi de conservació de l'energia permet que calculem la velocitat v amb la qual arribarà a la superfície de la Terra,
Per a calcular el temps que tarda en arribar a la superfície escrivim v = -dr/dt, ja que r disminueix quan v augmenta,
S'ha escrit la integral en termes de la variable adimensional r = x·r0. Fem el canvi de variable
i integrem per parts
S'avalua l'integrant per als límits superior i inferior, El temps t que tarda en arribar el mòbil a la superfície de la Terra és Exemple Es deixa caure un objecte situat a h = 20000 km d'altura. Calculeu el temps que tarda en arribar a la superfície de la Terra i la velocitat amb la qual arriba. Dades:
r0= R+h =26.37·106
m Si apliquem el principi de conservació de l'energia obtenim la velocitat amb la qual arriba l'objecte a la superfície de la Terra, v = 9746 m/s. Un cos es deixa caure des d'una altura h = 20 km. Comparem les prediccions de la Cinemàtica i de la Dinàmica. h = gt2/2 on g = 9.83 m/s2 és l'acceleració de la gravetat en la superfície de la Terra. t = 63.8 s, i la velocitat v = 627 m/s. r0= R+h = 6.39·106 m El principi de conservació de l'energia proporciona el valor de la velocitat, v = 626 m/s. ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Comença. S'observa el moviment de caiguda de l'objecte. El programa interactiu proporciona en cada instant t:
|
Moviment dels planetesQuan el moment angular L no és nul la trajectòria és una cònica, com demostrarem en la pàgina següent.
Així, una el·lipse es defineix en geometria com un tipus de cònica que té una excentricitat menor que la unitat. Per tal que una partícula sotmesa a una força central, atractiva i inversament proporcional al quadrat de les distàncies al centre de forces, descriga aquesta trajectòria, ha de tenir una energia total negativa (E < 0).
Si tornem a la geometria de l'el·lipse en la primera llei de Kepler, la posició més propera al focus r1 s'obté quan q = 0 i la posició més allunyada r2 s'obté quan q = p. És a dir,
Els semieixos a i b de l'el·lipse valen
El semieix major de l'el·lipse, a, és independent del moment angular L i tan sols depén de l'energia total E. El semieix menor b depén del moment angular L i de l'energia E
PeríodeS'anomena període al temps que tarda el mòbil en fer una volta completa. En la miniaplicació (applet) que estudia la segona llei de Kepler, i en la figura, veiem que el radi vector que uneix el Sol amb el planeta agrana l'àrea de color roig de forma triangular en l'interval de temps comprés entre t i t+dt.
Integrem l'equació del moment angular expressada en coordenades polars
La primera integral és l'àrea total de l'el·lipse, pab, que és igual a la suma de les àrees de tots els triangles infinitesimals; la integral del segon membre és el període P del planeta. Per tant
Si posem el semieix b en funció del semieix a, (final de l'apartat anterior), arribem a la fórmula que relaciona el període de l'òrbita d'un planeta P i el semieix major de l'el·lipse, a, anomenada tercera llei de Kepler,
|
Força central
