Dinàmica celeste |
Lleis de Kepler El descobriment de la llei de la gravitació Força central i
Moviment dels cossos celestes Encontres espacials Òrbita de transferència Encontre d'una sonda espacial amb Júpiter Òrbites de la mateixa Trajectòria d'un proyectil Moviment relatiu Caiguda d'un satèl·lit en òrbita cap a la Terra Els anells d'un planeta Moviment sota una força central i una pertorbació |
Posició i velocitat en coordenades polars | |||||
|
En aquesta pàgina deduirem pas a pas l'equació de la trajectòria d'una partícula sota l'acció d'una força inversament proporcional al quadrat de la distància. Les forces d'interacció gravitatòria i elèctrica són centrals i conservatives. Per tant, l'energia i el moment angular es mantenen constants en tots els punts de la trajectòria.
Posició i velocitat en coordenades polars
La posició del punto P és x = r·cosq Expressem la velocitat de la partícula en coordenades polars.
Veiem que
Les components del vector velocitat en coordenades polars són, per tant,
L'energia i el moment angular en coordenades polarsL'expressió de l'energia en coordenades polars és
on k/r és l'energia potencial corresponent a la força
conservativa F = k/r2, i
Expressem el moment angular L en coordenades polars,
Aïllem dq /dt en l'expressió del moment angular i la introduïm en l'expressió de l'energia;obtenim dues equacions
Equació de la trajectòriaEliminem dt entre aquestes dues equacions per a obtenir l'equació de la trajectòria,
Per a integrar es fa el canvi u = 1/r,
i obtenim una integral del tipus
on a = L2/(2m), b = k, c = E. Fem el canvi
i anem desfent els canvis
Hi ha dos solucions possibles segons el signe de b o de k. Si k o b és positiu
Si k o b és negatiu
Tercera llei de Kepler
En un interval de temps petit el planeta es desplaça v·dt. L'àrea agranada pel radi vector r entre els instants t i t+dt és l'àrea d'un triangle
El moment angular del planeta és L=r´mv. Com que la força d'atracció és central, el moment angular L roman constant en mòdul i direcció,
Mentre el radi vector agrana l'àrea de l'el·lipse (A = p ab) el planeta empra un temps igual al període de revolució P , de manera que P = 2mp ab/L A partir d'aquesta relació obtindrem la tercera llei de Kepler.
Eliminem v1 i v2 en aquest parell d'equacions i obtenim
De la geometria de l'el·lipse tenim que r1 = a+c on c és la semidistància focal. La relació entre els semieixos major a i menor b de l'el·lipse és a2- b2 = c2; per tant, el producte r1·r2 = b2. El mòdul del moment angular L s'expressa en terme dels semieixos a i b de l' el·lipse,
Si introduïm el valor de L en la fórmula del període P obtenim la tercera llei de Kepler.
|
Equació de la trajectòria
, si la
interacció és de tipus eléctric.
