Dinàmica celeste

Força central i conservativa

Activitats

En aquesta pàgina estudiem el moviment d'un cos de massa m quan es llança des d'un punt situat en l'eix X a una distància r1 d'un centre fix de forces, amb velocitats creixents v1 i perpendiculars al radi vector.

Equacions del moviment

Les lleis de Kepler descriuen el moviment dels planetes al voltant del Sol, sense indagar-ne les causes que produeixen el moviment.

1- Els planetes descriuen òrbites el·líptiques, i el Sol està en un dels focus.

2- El vector de posició de qualsevol planeta respecte del Sol agrana àrees iguals de l'el·lipse en temps iguals.

3- Els quadrats dels períodes de revolució son proporcionals als cubs dels semieixos de l'el·lipse.

Les lleis de Newton no tan sols expliquen les lleis de Kepler sinó que prediuen altres trajectòries per als cossos celestes: les paràboles i les hipèrboles. En general, un cos sota l'acció de la força d'atracció gravitatòria descriuirà una trajectòria plana que és una cònica.

Com ja s'ha comentat, les propietats central i conservativa de la força d'atracció entre un cos celeste i el Sol determinen un sistema de dues equacions diferencials de primer ordre, que quan s'expressen en coordenades polars condueixen a l'equació de la trajectòria, una cònica.

El programa interactiu procedeix d'una altra manera: calcula les components de l'acceleració al llarg de l'eix X i al llarg de l'eix Y, i dóna lloc a un sistema de deus equacions diferencials de segon ordre.

Un cos celest de massa m està sotmés a una força atractiva F la direcció de la qual és radial i apunta cap al centre del Sol; la massa del Sol és M. El mòdul de la força ve donat per la llei de la Gravitació Universal,

r és la distància entre el centre del cos celest i el centre del Sol; x i y són la seua posició respecte d'un sistema de referència que té l'origen en el Sol, Les components de la força són

Si apliquem la segona llei de Newton i expressem l'acceleració com a derivada segona de la posició, ontenim un sistema de dues equacions diferencials de segon ordre

A partir de les condicions inicials (posició i velocitat inicial), el sistema de dues equacions diferencials es pot integrar si apliquem el procediment numèric de Runge-Kutta, per exemple.

Força central i conservativa

En la figura es mostra un cos que descriu una trajectòria el·líptica al voltant del centre de forces situat en un dels focus. La distància de màxim apropament és r₁ i la de màxim allunyament r₂. Les velocitates que du el cos en aquestes dues posicions extremes són v₁ i v₂, respectivament. La constància del moment angular i de l'energia permet relacionar aquestes quatre magnituds,

Es poden plantejar dos problemes:

• Conegudes r₁ i r₂ calculeu v₁ i v₂

S'aïlla v₁ en la primera equació i se substitueix en la segona. Obtenim

Alguns estudiants calculen erròniament v₁ o v₂ a partir de la dinàmica del moviment circular uniforme, perquè pensen que el centre de forces coincideix amb el centre de curvatura de l'el·lipse. Si R és el radi de curvatura de l'el·lipse en la posició més propera al centre de forces, l'equació de la dinàmica del moviment circular uniforme s'escriu

Com veurem, R coincideix amb el paràmetre d que intervé en l'equació de l'el·lipse, en coordenades polars,

• Coneguts r₁ i v₁ calculeu r₂ i v₂

Coneguda la posició r₁ i la velocitat v₁ en el moment del llançament, apliquem la constància de l' energia i del moment angular i calculem la velocitat v₂ i la distància r₂ al centre de forces. Després d'algunes operacions obtenim la velocitat v₂ en funció de r₁ i v₁

       (1)

Velocitat d'escapament

S'anomena velocitat de escapament v_e d'una partícula, que està a una distància r₁ del centre de forces, a la velocitat que li hem de proporcionar per tal que arribe a l'infinit amb velocitat nul·la,

Podem expressar la velocitat v₂ en terme de la velocitat d'escapament v_e

La distància r₂ al centre de forces l'obtenim a partir de la constància del moment angular

Moviment circular

Si el satèl·lit es llança amb una velocitat vc tal que descriuirà una òrbita circular de radi r.

Podem comprovar en la fórmula (1) que si el satèl·lit segueix una òrbita circular,

i aleshores v₂ = v₁.

Exemple

Establim un sistema d'unitats en el qual el producte GM val la unitat.

En color roig observem la trajectòria circular de radi r1 = 2; la velocitat és vc = 0.71. En color verd, la trajectòria el·líptica d'un satèl·lit llançat amb una velocitat inferior, v1 = 0.65; el punt de llançament és el més allunyat. En color blau, la trajectòria el·líptica d'un satèl·lit llançat amb una velocitat major, v1 = 0.75; el punt de llançament és el més allunyat.

En el cas dels satèl·lits artificials que circumden la Terra o dels planetes del sistema Solar:

• Si la velocitat de llançament v₁ és inferior a v_c, el punt de llançament és l'apogeu (afeli).

• Si la velocitat de llançament v₁ és major que v_c, el punt de llançament és el perigeu (periheli)

Coneguts r₁ i v₁ calculem r₂ i v₂.

• Si r₁ = 2, la velocitat d'escapament de la partícula en aquesta posició és v_e = 1.0

• Si v₁ = 0.65 < v_c, aleshores v₂ = 0.89 i r₂ = 1.46

• Si v₁ = 0.75 > v_c, aleshores v₂ = 0.58 i r₂ = 2.57

El programa interactiu permet assajar les trajectòries seguides per cossos llançats des del mateix punt amb velocitats diferents, més grans o més petites que la que correspon al moviment circular.

Activitats

Quan s'han acumulat unes quantes trajectòries es pitja en el botó Esborrar per a netejar l'àrea de treball de la miniaplicació (applet).

Exercici

6- Anoteu el període P, temps que tarda en fer una volta completa. Comproveu la tercera llei de Kepler (el quocient P²/a³ ha de ser aproximadament constant) en  la darrera columna de la taula.