Dinàmica celeste |
Lleis de Kepler El descobriment de la llei de la gravitació Força central i Equació Moviment dels cossos celestes Encontres espacials
Encontre d'una sonda espacial amb Júpiter Òrbites de la mateixa Trajectòria d'un projectil Moviment relatiu Caiguda d'un satèl·lit en òrbita cap a la Terra Los anillos de un planeta moviment bajo una força central i una perturbació |
Descripció | |
|
Suposem que volem enviar una nau espacial des de l'òrbita de un planeta a la d'un altre o bé elevar un satèl·lit de comunicacions des d'una òrbita circular equatorial de baixa altura a una altra òrbita coplanar i circular de major altura. Per a economitzar el combustible és necessari que la nau espacial seguisca una òrbita de transferència semiel·líptica, per a la qual cosa és necessari proporcionar-li dos impulsos:
DescripcióPer a resoldre el problema proposat tan sols és necessari fer servir les propietats central i conservativa de la força d'atracció que hem estudiat en pàgines anterirors, i de la dinàmica del moviment circular uniforme. Òrbita circular interior
L'energia E1 de la nau espacial en l'òrbita circular inicial és
la meitat de l' energia potencial. Òrbita semiel·líptica de transferència Per a calcular la velocitat que ha de dur la nau espacial en el punt A per tal que arribe a l'òrbita exterior en B, hem d'aplicar les propietats central i conservativa de la força d'atracció.
Per la propietat de la força central, el moment angular és constant i, per tant, té el mateix valor en A que en B,
Per la propietat de força conservativa, l'energia és constant en tots els punts de la trajectòria, i en particular és la mateixa en A que en B,
Coneguts rA i rB podem calcular en aquest parell d'equacions les incògnites v’A i vB
L'energia de la nau espacial és constant en tots els punts de la trajectòria i val
L'energia que hem de subministrar al satèl·lit en la posició A per tal que passe de l'òrbita circular a la trajectòria de transferència és la diferència E2 - E1 , o bé,
Òrbita circular exterior Una vegada la nau espacial arriba al punt B, n'ha de canviar la velocitat per a seguir la trajectòria circular de radi rB. Aplicant de nou la dinàmica del moviment circular uniforme obtenim
L'energia E3 de la nau espacial en l'òrbita circular final és
L'energia que hem de subministrar al satèl·lit per tal que passe de l'òrbita de transferència el·líptica a l'òrbita circular de radi rB és la diferència E3 - E2 , o bé
El temps que tarda la nau espacial en passar del punt A al punt B, principi i final de la trajectòria de transferència, és la meitat del període P,
on a és el semieix major de l'el·lipse.
Combustible gastat per la nau espacial Suposarem que la nau espacial canvia de velocitat en els punts A i B mitjançant dos impulsos de durada molt curta, per la qual cosa no tindrem en compte l'acció del pes. En estudiar la dinàmica d'un coet vam calcular la quantitat de combustible m0 - m que ha de gastar una nau espacial per a incrementar-ne la velocitat en v - v0,
on u és la velocitat d'escapament dels gasos en cremar-se el combustible, m0 és la massa inicial i m és la massa final i Δv = v - v0 és la variació de velocitat. La variació total de velocitat que experimenta la nau espacial en els punts A i B és la suma
A partir de l'expressió (4) podem trobar la massa final m coneguda la massa inicial m0 i el canvi de velocitat Δv que experimenta la nau espacial al pasar de l'òrbita interior a l'exterior.
ExemplePer a situar un satèl·lit de comunicacions en una òrbita geosincrònica a 35 770 km d'altura sobre la superfície terrestre s'empra un remolcador espacial. Si inicialment el remolcador descriu una òrbita circular a 350 km d'altura, determineu:
Dades:
En primer lloc transformem les altures de les òrbites en distàncias al centre de la Terra, rA = (350 + 6370)·1000 m, rB = (35770 + 6370)·1000 m.
ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Inicio. Podem veure la nau espacial, representada per un petit cercle de color negre, descrivint l'òrbita circular al voltant de la Terra. La velocitat vA que té la nau en aquesta òrbita es mostra en el control d'edició Velocitat-A. S'introdueix:
Es pitja el botó Llançar. Si la nau espacial no arriba a l'òrbita exterior o la ultrapassa, s'ha d'intentar l'operació de nou. Quan la nau espacial arriba a l'òrbita exterior en el punt B es mostra en el segon control d'edició la velocitat de la nau vB en aquesta posició, Velocitat-B. S'introdueix:
Es pitja el botó Situar. Si l'operació no té èxit es traça la trajectòria el·líptica seguida per la nau espacial. Si té èxit, es podrà veure la nau espacial descrivint l'òrbita circular exterior. En la part superior esquerre de la miniaplicació (applet) es mostra el temps trascorregut des del llançament de la nau espacial i la velocitat que té a mesura que descriu l'òrbita de transferència. En la part dreta de la miniaplicació (applet) es mostra l'energia potencial, la cinètica i la total de la nau espacial. L'energia total s'expressa en unitats de 106 J. Fixeu-vos que l'energia total de la nau en òrbita circular és la meitat de la seua energia potencial. Nota: En resoldre numèricament les diverses situacions s'ha de tenir en compte que en els controls d'edició situats a l'esquerre, Altura (km), s'introdueixen les altures (no els radis) de les òrbites sobre la superfície de la Terra. Per a fer els càlculs hem de sumar a aquestes quantitats el radi de la Terra, 6370 km, i passar el resultat a metres.
|
Òrbita de transferència
(1)
(2)
(3)
(4)