Dinàmica celest |
El Sistema Solar Mesura de la velocitat de la llum La Lluna
Viatge per l'interior de la Terra Desviació cap a l'est d'un cos que cau (I) Desviació cap a l'est d'un cos que cau (II) Xoc d'un meteorito Mesura de G La forma de la Terra |
L'origen de les forces de marea components de la força de marea |
|||
| En aquesta pàgina, s'explicarà l'origen de les marees. Veurem que els fonaments físics són simples però l'anàlisi quantitativa és bastant complexa. En aquesta pàgina, no s'expliquen els efectes dinàmics que sobre l'oceà té una força que varia amb el temps. Solament, s'explicarà l'origen i les propietats de les forces de marea. El problema que resoldrem, és el de trobar la forma que adopta la superfície lliure d'una capa d'aigua que cobreix tota la Terra, quan considerem les forces d'atracció que exerceix el Sol i la Lluna.
L'origen de les forces de mareaL'origen de les forces de marea es deuen a que la Terra és un cos extens i el camp gravitatori produït per la Lluna o pel Sol no és homogeni en tots els seus punts, ja que hi ha uns punts que estan més propers i d'altres més allunyats d'aquestos cossos celests. Suposarem que la Terra és un cos rígid de forma esfèrica de radi R, que està coberta per una capa d'aigua d'espessor uniforme i de profunditat menuda. El cos perturbador, la Lluna o el Sol se suposa que està en el pla equatorial de la Terra. Tot i que el Sol i la Lluna es mouen, es considera que l'aigua està en tot moment en equilibri, la velocitat i l'acceleració de qualsevol element de líquid respecte de la Terra se suposa negligible. Suposarem, inicialment, que el cos perturbador és la Lluna; les mateixes fórmules seran aplicables per al Sol. Finalment, analitzarem l'efecte combinat de la Lluna i del Sol. Considerem la Terra i la Lluna immòbils en l'espai estant els seus centres separats una distància r. La força de marea, en una determinada posició P de la superfície de la Terra, és igual a la diferència entre la força d'atracció que la Lluna exerceix sobre un objecte situat en aquesta posició, i la força d'atracció que exerciria sobre aquest objecte si estiguera en el centre de la Terra.
Dibuixem les forces d'atracció que exerceix la Lluna (en color roig) sobre un objecte de massa m situat en els punts A, B i C, i la força que exerciria (en color blau) sobre aquest objecte si estiguera situat en el centre T de la Terra. A la dreta, es dibuixen les forces de marea (diferència entre els vectors roig i blau) en els punts A, B i C. En el centre de la Terra T, la força d'atracció està dirigida cap al centre de la Lluna
Com apreciem en la figura, solament hem de calcular las forces de marea en la meitat de la Terra per damunt de l'eix que uneix el centre de la Terra i el centre de la Lluna. Els punts de la Terra simètrics, per davalll d'aqueset eix, tenen forces de marea iguals i de sentit contrari.
Components de la força de mareaPer a calcular la component radial de la força de marea, fem el producte escalar fP·R=fR·R, on fR és la component radial de la força de marea
La component tangencial ft es calcula mitjançant el mòdul del producte vectorial |fPxR|=ft·R
Dades
La força d'atracció que exerceix la Terra sobre un objecte de massa m situat en la seua superfície és
El Sol està molt allunyat de la Terra, però té una massa enorme. La Lluna està propera a la Terra però la seua massa és relativament menuda. La força d'atracció que exerceix el Sol sobre el c.m. de la Terra és major que la força que exerceix la Lluna sobre el c.m. de la Terra.
El quocient és FS/FL=1.78 Una vegada calculats el valor màxim de les forces de marea en A o B (θ=0), veges la primera figura
El quocient entre aquestes dues forces és fL/fS=2.195 Aquests xifres ens indiquen que les forces de marea són molt menudas comparades amb la força d'atracció de la Terra 9.83·m sobre un objecte de masa m situat en la seua superfície, però els efectes són notables. La força d'atracció del Sol sobre el c.m. de la Terra és major que la força d'atracció de la Lluna, a pesar que aquesta està molt propera a la Terra. No obstant això, la força de marea produïda pel Sol és més menuda que la produïda per la Lluna.
Elevació de la capa d'aiguaEl pas següent, la demostració del qual s'omet per raons de dificultat matemàtica però que pot consultar-se en el primer article citat a les referències, és el càlcul de l'energia potencial corresponent a la força de marea fP. La forma S0 de la superfície degut a la força d'atracció de la Terra i a la seua rotació és la d'un esferoide de revolució al voltant de l'eix polar. La força centrípeta, deguda a la rotació de la Terra al voltant del seu eix, que és una força independent del temps, no afegeix res a les forces de marea.
Tenint en compte, que el volum d'aigua que cobreix la Terra roman constant, es determina l'elevacióh del punt P de la superfície S0 deguda exclusivament a les forces d'atracció del cos perturbador.
on M és la massa del cos perturbador, MT=5.98·1024 kg és la massa de la Terra, R el seu radi, r la distància entre el centre de la Terra i el centre del cos perturbador. Aquesta és l'expressió que emprarem en els programes interactius al final d'aquesta pàgina, on hem suposat que el cos perturbador està en repós en el pla equatorial de la Terra a una distància r del seu centre. La màxima elevació correspon a l'angle θ=0º o θ=π, quan el cos perturbador està davant o darrere, (punts A i B de la primera figura) on són màximes las forces de marea. La mínima elevació correspon a l'angle θ=π/2, (punt C de la primera figura). La màxima elevació és el doble en valor absolut, de la mínima elevació. De manera que, la diferència entre alçada màxima de la baixamar i la plenamar és:
Con els datos proporcionados en el apartado anterior. Para las marees producidas por la Lluna
Para las marees producidas por el Sol
Rotación de la TerraAhora bien, aquesta no es la situación real. La Terra se mueve respecto de su eje amb un periodo de 24 h 22 min. El ángulo θ varía amb el tiempo de la forma θ=ω·t, donde ω es la velocidad angular de rotación. La elevación en función de la latitud Consideremos ahora, la Terra de forma esférica, determinemos el ángulo θ en términos de la latitud λ.
Supongamos que en el instante t=0, el punt P sobre la superfície de la Terra a una latitud λ, i el cos perturbador M están en el plano XZ. Al cabo de un cierto tiempo t, debido a la rotación de la Terra, el punt P se habrá desplazado a la posición P’. El ángulo θ, formado la recta que une el centre de la Terra amb el punt P, i el centre de la Terra amb el centre del cos perturbador o bien, por el vector R i el vector r se puede calcular por medio del producto escalar. r=ri El producto escalar vale r·R=R·rcosθ=R·rcosλcos(ωt) cosθ=cosλ·cos(ωt) La elevación en función de la latitud i el ángulo de declinación Si el cos perturbador no está en el plano ecuatorial, sino que forma un ángulo δ, de declinación amb dicho plano.
El vector r se escribe ahora r=rcosδ·i+rsinδ·k El producto escalar vale r·R=R·rcosθ=R·rcosλ cos(ωt) cosδ+ Rrsinλ rsinδ cosθ=cosλ cos(ωt) cosδ+sinλ rsinδ Finalmente, si P no parte del plano XZ (meridiano de Greenwich) sino de una meridiano inicial φ. La fórmula se convierte en cosθ=cosλ cos(ωt+φ) cosδ+sinλ rsinδ Introduciendo cosθ en la expresión de la elevación del aigua, i teniendo en cuenta las identidades trigonométricas cos2β=2cos2β-1,sin2β+cos2β=1, sin2β =2sinβcosβ, se llega al siguiente resultado.
marees producidas por el Sol i la LlunaCuando consideramos els efectos combinado de la de la Lluna i del Sol, la elevación de la marea se obtiene sumando las elevaciones debidas cada uno de ellos.
La máxima diferencia de nivel entre la marea baja i pleamar es de 53.4+24.4=77.8 cm. Cuando els dos cuerpos celestes están en conjunción alineados amb la Terra se producen la máxima elevación, i cuando están en cuadratura se producen la mínima elevación.
oscil·lacions forzadasLa descripción de las marees que se ha hecho en els apartados anteriores corresponde al efecto de la Lluna i del Sol sobre una capa d'aigua de espesor uniforme que cubre la Terra por completo. La Terra está cubierta d'aigua en sus tres cuartas partes, i su distribución no es uniforme, tanto en profundidad como en extensión. Tenemos grandes océanos, mares cerrados como el Mediterráneo, lagos, bahías, etc. La diferencia de nivel entre la marea baja i la alta cambia de un lugar a otro, así en el mar Mediterráneo es muy menuda, i en ciertas bahías como la de Fundy en Canadá es muy grande Resonancia Hemos observado, que un punt de la superfície líquida de la Terra está sometido a una força oscilante, cuyo periodo es de 12 horas aproximadamente, i cuya amplitud es variable. Una bahía es una cavidad amb determinados modos de oscilación, que dependen de su forma, extensión i profundidad de sus aiguas. En ciertos lugares como Mont St Michel en la Bretaña francesa o la bahía de Fundy en Canadá se pueden producir situaciones de resonancia, amb una diferencia de altura entre el flujo i el reflujo que van desde els 15 metros en la localidad francesa a 20 m en la bahía de Canadá. Efecto sobre la rotación de els cuerpos El efecto de las marees es una disminución progresiva en la velocidad de rotación de la Terra. La duración del día se incrementa en 3.5 milisegundos por cada siglo. Si consideramos que la Lluna tuvo alguna vez en su historia remota una parte fluida, els efectos de marea provocados por la acción de la Terra fueron enormes. Se puede hacer un cálculo i mostrar que estos son 6000 veces mayores que els que produce la Lluna en la Terra. El efecto de aquestes intensísimas marees explica el hecho de que siempre vemos la misma cara de la Lluna. Venus que está molt más cerca del Sol, tiene una baja velocidad de rotación, la duración de un día venusiano es de 243.16 días terrestres, el año venusiano consta aproximadamente de dos días solares. No se pueden explicar ciertos moviments de planetas i satélites sin recurrir al mecanismo de fricción de marea.
ActividadesSistema inmóvil Terra - Lluna o Terra – Sol.En el primer applet comparamos els "efectos de marea" sobre la Terra producidos separadamente por la Lluna i por el Sol. Se supone que la Lluna i el Sol están a una distància fija de la Terra, en su plano ecuatorial, i que ésta no tiene moviment de rotación.
Si se activa la casilla titulada forces, se observa las components tangencial i radial de las força de marea que se exerceixn en varios punts de la superfície terrestre.
La superfície d'aigua se desvía de la forma esférica i aquesta desviación como puede apreciarse, no está realizada a escala. De la representación gráfica sacamos las siguientes conclusiones
|
||||
La Terra gira al voltant de su eje, la Lluna da vueltas en torno a la Terra.En el segundo applet, examinamos la altura de la marea en un punt situado en el plano ecuatorial a medida que transcurre el tiempo, en dos situaciones independientes:
Suponiendo que la Lluna estiguera fija, debido a la rotación de la Terra, al cabo de seis horas un punt que estiguera en q =0º o en q =180º (marea alta) pasará a la posición q =90º o q =270º (marea baja). Seis horas más tarde se invertirá la situación i así sucesivamente. Por tanto, en un punt del plano ecuatorial de la Terra se producirán dos pleamares i dos bajamares. El "efecto de la marea" producido por la Lluna cuando consideramos únicamente el moviment de rotación de la Terra es la oscilación de un punt de la superfície líquida amb un periodo P0=24/2=12 horas. Finalmente, consideramos el efecto conjunto de ambos moviments. El "efecto de marea" producido por la Lluna en un punt de la superfície líquida cuando consideramos el efecto simultáneo de els dos moviments es un cambio en el intervalo de tiempo entre dos pleamares o dos bajamares. Si el moviment de la Lluna i la rotación de la Terra tienen el mismo sentido. El nuevo periodo vendrá dado por
La velocidad angular de la Terra es 1 vuelta cada día, la de la Lluna es una vuelta cada 27.32 días.
|
Efecto de la Lluna i del SolEn el tercer applet, examinamos el efecto por separado i conjunto la Lluna i el Sol sobre las marees en la Terra. Activamos el primer botón de radio titulado efecto de la Lluna i volvemos a examinar el efecto únicamente de la Lluna sobre las marees, que ya hemos descrito en el apartado anterior. Activamos el segundo botón de radio, i observamos el efecto del Sol sobre las marees. Se ha supuesto que el centre de la Terra describe una órbita circular al voltant del Sol amb un periodo de 365 días. En el primer apartado, vimos que el efecto del Sol era molt menor que el de la Lluna, la posición de la Terra cambia muy poco durante un día, por lo que las marees debidas al Sol tienen un periodo de prácticamente 12 horas pero su amplitud es algo menos de la mitad que las producidas por la Lluna. Después de molts días, empieza a ser apreciable el cambio de la hora en la que se produce la pleamar o la bajamar debida exclusivamente al moviment de la Terra en órbita circular al voltant del Sol. Activando el botón de radio Efecto de ambos, observamos el efecto debido a la Lluna i al Sol. Aunque el efecto dominante es el de la Lluna, el comportamiento es muy complejo. Pero caben destacar dos rasgos: Cuando la Lluna i el Sol están alineados amb la Terra el efecto de la marea es muy intenso, aquesta situación se denomina "marea viva", que a su vez corresponde a las fases lunares luna nueva i luna llena. Cuando la Lluna i el Sol está en cuadratura, es decir, cuando la línea que une el Sol amb La Terra hace 90º amb la línea que une la Terra i la Lluna, els efectos se contraponen dando lugar a las denominadas "marees muertas", que corresponden a las fases lunares de cuarto creciente i cuarto menguante. Hemos presentado un modelo simple, que permite explicar cualitativamente las marees. Pero la realidad es molt más compleja. La Terra no es homogénea, no es una esfera perfecta, i la rotación hace que el valor de la aceleración de la gravedad i su dirección cambien ligeramente amb la latitud, siendo mínima en el Ecuador i máxima en els polos. Las órbitas de la Lluna al voltant de la Terra i de la Terra al voltant del Sol no son circunferencias sino elipses de menuda excentricidad. En els mares pequeños como el Mediterráneo el efecto de las marees es relativamente pequeño. Sin embargo, las marees son molt más intensas en las costas de els grandes océanos. Nota: El tamaño de la órbita de la Lluna al voltant de la Terra está muy exagerado en el applet, ya que la razón del radio r de la órbita de la Lluna, al radio medio R de la órbita de la Terra al voltant del Sol es, r/R=0.0026
|
Kapoulitsas G. On the generation of tides. Eur. J. Phys. 6 (1985) pp. 201-207
Butikov E. A dynamical picture of the oceanic tides. Am. J. Phys. 70 (10) October 2002, pp. 1001-1011
El fenòmen de les
marees
