Dinàmica celeste

Xoc d'un meteorit amb la Terra en òrbita circular al voltant del Sol

Activitats

Referències

Fa 65 milions d'anys la Terra va canviar sobtadament de forma, van desaparéixer moltes espècies, plantes, animals terrestres i marins i, sobre tot, els grans dinosaures. Tanmateix, els mamífers petits van sobreviure. El possible causant de tal desastre seria el xoc d'un gran meteorit en la península del Yucatán (Mèxic) les característiques delqual s'han estimat en:

• diàmetre de 10 a 14 km

• densitat de 1300-3400 kg/m³

• velocitat de 20-25 km/s

La Terra descriu una òrbita quasi circular d'excentricitat ε = 0.0167. Els càlculs demostren que un impacte d'aquesta magnitud no és suficient per alterar l'excentricitat de l'òrbita de la Terra. En aquesta pàgina descriurem una situació hipotètica de xoc entre un meteorit i la Terra.

Xoc d'un meteorit amb la Terra immòbil

Primer resoldrem un problema senzill que és planteja habitualment en un curs de Física General:

Suposem la Terra de massa M i radi R immòbil en l'espai; un meteorit de massa m << M és mou en la direcció radial cap al centre de la Terra amb velocitat v₀; quan està a una distància r₀ > R, determineu

• la velocitat v del meteorit justament abans de l'impacte,

• la velocitat V del conjunt després del xoc inelàstic entre la Terra i el meteorit.

Per tal de resoldre el problema suposarem que la massa m del meteorit és petita en comparació amb la massa M de la Terra, és a dir, la força d'atracció del meteorit sobre la Terra no en causa un moviment apreciable.

Com que la força de atracció és conservativa l'energia total del meteorit roman constant,

Les dades són v₀ i r₀ i la incògnita és la velocitat v del meteorit justament abans del xoc amb la Terra.

Com que la Terra i el meteorit formen un sistema aïllat si apliquem el principi de conservació del moment lineal,

m·v = (m+M)V

obtindrem la velocitat del conjunt Terra-meteorit després del xoc i la part de l'energia cinètica del meteorit que s'ha trasformat en energia interna del conjunt,

Exemple

Un meteorit de massa m = 2·10⁷ kg es dirigeix des de l'espai exterior cap a la Terra. La seua velocitat a una distància r₀ = 3.8·10⁷ m del centre de la Terra és v₀ = 30 km/s. Calculeu:

•  la velocitat amb la qual arriba a la superfície de la Terra (se suposa que la Terra roman immòbil abans del xoc),

• la velocitat del conjunt Terra-meteorit després del xoc,

• l'energia cinètica del meteorit que es transforma en energia interna del sistema.

Dades:

• massa de la Terra, M = 5.98·10²⁴ kg

• Radi de la Terra, R = 6.37·10⁶ m

• Constant G = 6.67·10^-11 Nm²/kg²

Resultats:

• Velocitat amb la qual arriba el meteorit a la superfície de la Terra, v = 31689.7 m/s, i la seua energia cinètica, E_k = 1.0·10¹⁶ J

• Velocitat del conjunt després del xoc, V = 1.06·10^-13 m/s

• Energia cinètica transformada en energia interna, Q =1.0·10¹⁶ J

Pràcticament tot l'energia cinètica del meteorit es transforma en energia interna; el centre de masses de la Terra gairebé no es veu afectat pel xoc, la seua velocitat no canvia apreciablement.

Xoc d'un meteorit amb la Terra en òrbita circular al voltant del Sol

Òrbita circular de la Terra

Susarem que la Terra descriu una òrbita circular de radi R = 1.49·10¹¹ m al voltant del Sol. Apliquem l'equació de la dinàmica del moviment circular uniforme i obtenim la velocitat constant V_t de la Terra en el seu moviment de translació al voltant del Sol,

Les dades que precisem són: el radi de l'òrbita circular de la Terra, R = 1.49·1011 m la massa del Sol, Ms = 1.98·1030 kg El resultat és Vt = 29771.6 m/s

El període de la Terra, o temps que tarda en fer una volta completa, és

Xoc d'un meteorit amb la Terra

Establim ara un sistema inercial de referència amb l'origen en el Sol; just abans del xoc la Terra està situada en l'eix X a una distància R del Sol; es mou al llarg de l'eix i amb velocitat V_t. El meteorit es mou amb una velocitat V_m relativa al Sol i amb un angle α amb l'eix X, com s'indica en la figura. Apliquem el principi de conservació del moment lineal,

mVm+MVt = (m+M)v   o bé, mVm·cosα = (m+M)vx mVm·sinα + MVt = (m+M)vy

on m és la massa del meteorit, M es la massa de la Terra, V_t la velocitat de translació de la Terra al voltant del Sol i v la velocitat del conjunt format per la Terra i el meteorit després del xoc.

Calculem el mòdul de la velocitat v i la seua direcció φ després del xoc,

on γ = m/M és el quocient entre les masses del meteorit i de la Terra.

Trajectòria del sistema format per la Terra i el meteorit

Hem de calcular la trajectòria seguida per una partícula de massa (m+M) sota la força d'atracció del Sol; sabem que en l'instant inicial està a una distància R i du una velocitat v que fa un angle φ amb l'eix horitzontal, com s'indica en la figura.

Es tracta d'un problema semblant al que hem resolt en la pàgina “Trajectòria d'un projectil disparat des d'una altura h per damunt de la superfície terrestre”.

El moment angular i l'energia de la combinació meteorit-Terra després del xoc és,

L'equació de la trajectòria en coordenades polars és

L'equació de la trajectòria és independent de la massa de la partícula.

Si l'energia de la partícula és negativa, E < 0, la seua trajectòria és una el·lipse i la seua excentricitat és ε < 1.

Si coneixem d i ε calculem el semieix major a, que és la mitjana aritmètica dels radis mínim (θ = 0)  i màxim (θ = π) de l'el·lipse,

El període el dóna la fórmula

Com veiem en la figura, la trajectòria que segueix la partícula és una el·lipse girada un angle β. Aquest angle es pot calcular si fem r = R en l'equació de la trajectòria i aïllem l'angle θ,

Les partícules que tenen unes direccions inicials que formen amb l'eix X angles φ i 180-φ tenen la mateixa energia i el mateix moment angular, la trajectòria és una el·lipse amb els mateixos valors del paràmetre d i de l'excentricitat ε, però la seua orientació és diferent, β, i 2π-β. Les partículas que tenen unes direccions inicials que formen amb l'eix X angles φ i π+φ descriuen la mateixa trajectòria però en sentits oposats.

Els meteorits que tenen unes velocitats que formen angles de 0º o de 180º amb l'eix X, en xocar amb la Terra produeixen trajectòries que tenen la mateixa excentricitat i el mateix període però que tenen una orientació diferent, ja que les velocitats finals del conjunt format per la Terra i el meteorit després del xoc formen angles suplementaris.

Els canvis més dramàtics es produeixen en un xoc frontal entre el meteorit i la Terra, és a dir, quan la direcció de la velocitat del meteorit forma 270º amb l'eix X,

Com a exercici numèric estudiarem dos exemples, un xoc frontal i un xoc oblic.

Xoc frontal

Siga:

• γ = m/M = 0.1, quocient entre la massa del meteorit i la massa de la Terra

• V_m = 30000 m/s, velocitat del meteorit

• α = 270º, angle que forma la direcció de la velocitat del meteorit amb l'eix X

Plantegem les equacions del xoc inelàstic al llarg de l'eix Y:

-γV_m + V_t = (γ+1)v

Coneguda la velocitat V_t de la Terra abans del xoc, aïllem la velocitat final del conjunt després del xoc, v = 24337.8 m/s, al llarg de l'eix Y, φ = 90º.

Calculem el moment angular i l'energia en funció de la massa m+M, ja que l'equació de l'òrbita és independent de la massa de la partícula. Cal saber la massa del Sol, M_s = 1.98·10³⁰ kg i el radi de l'òrbita de la Terra, R = 1.49·10¹¹ m.

E = -590.2·10⁶ (m+M) J
L = 3.63·10¹⁵ (m+M) kgm²/s

Amb aquestes dades calculem l'excentricitat de l'òrbita ε i el paràmetre d,

d = 0.996·10¹¹ m
ε = 0.332

El semieix major de l'el·lipse és a = 1.19·10¹¹ m i el període P = 236.83 dies.

Xoc oblic

Canviem l'angle a α = 60º i plantegem les equacions de conservació del moment lineal al llarg de l'eix X i al llarg de l'eix Y.

γVm·cosα = (γ+1)vx γVm·sinα + Vt = (γ+1)vy

Si coneixem la velocitat V_t de la Terra abans del xoc aïllem la velocitat final del conjunt després del xoc, v = 29458.6 m/s i la seua direcció, φ = 87.3º.

Calculem el moment angular i l'energia,

E = -452.4·10⁶ (m+M) J
L = 4.38·10¹⁵ (m+M) kgm²/s

Amb aquestes dades calculem l'excentricitat de l'òrbita ε i el paràmetre d,

d = 1.456·10¹¹ m
ε = 0.051

La trajectòria és una el·lipse que té un eix major girat un angle β = 117º.

El semieix major de l'el·lipse és a = 1.459·10¹¹ m i el període P = 352.83 dies.

Variació de l'excentricitat amb l'angle α

En la figura es mostra el comportament complex de l'excentricitat ε en funció de l'angle α que forma la direcció de la velocitat V_m del meteorit amb l'eix X per a dues velocitats diferents del meteorit, 30 km/s (en roig) i 90 km/s (en blau). L'excentricitat té un valor màxim per a α = 270º, que és el xoc frontal.

S'observa un valor mínim (corba de color roig) per a α = 90º, que és un xoc en el qual la Terra i el meteorit tenen la mateixa direcció i sentit.

Per a velocitats grans del meteorit (corba blava) hi ha mínims per a angles determinats, el valor dels quals s'obté en l'article citat en les referències.

Activitats

S'introdueix:

• El quocient γ = m/M entre la massa del meteorit i la massa de la Terra (5.98·10²⁴ kg), en el control d'edició Quocient masses

• La velocitat del meteorit V_m, en km/s, en el control d'edició Velocitat

• L'angle α que forma la direcció de la velocitat del meteorit amb l'eix X, actuant sobre la barra de desplaçament (Angle)

Es pitja el botó Comença.

Si com a conseqüència del xoc l'energia de la partícula resultant és positiva o nul·la el programa no continua i convida l'usuari a disminuir la velocitat del meteorit.

S'observa el moviment rectilini del meteorit i el circular de la Terra abans del xoc, que es produeix en l'eix horitzontal X a una distància R = 1.49·10¹¹ m del Sol. S'observa la trajectòria del conjunt format per la Terra i el meteorit després de xoc.

El programa interactiu proporciona les dades de l'excentricitat i del període de la nova òrbita.

Com a exercici se suggereix mantenir constants la relació de masses γ i la velocitat V_m del meteorit, i observar com varia l'excentricitat i el període de l'òrbita en canviar la direcció α de la velocitat del meteorit; completeu una taula on la primera columna estiga formada pels angles presos de 10 en 10º, la segona l'excentricitat i la tercera el període.