Dinàmica celeste |
Lleis de Kepler El descobriment de la llei de la gravitació Força central Equació de la Moviment dels cossos celestes Encontres espacials Òrbita de transferència Encontre d'una sonda espacial amb Júpiter Òrbites de la Trajectòria d'un projectil
Caiguda d'un satèl·lit en òrbita cap a la Terra Els anells d'un planeta Moviment sota una força central i una pertorbació |
Moviment
circular de la nau espacial al voltant de la Terra
Posició relativa del cos respecte de la nau espacial Descripció del moviment relatiu del cos. Solució numèrica
|
|||||||
|
Hem estudiat que les naus espacials descriuen òrbites el·líptiques en un dels focus de les quals està el centre de la Terra. Suposem que una nau espacial descriu una òrbita circular de radi r0. En un moment donat es llança un cos amb una velocitat u relativa a la nau espacial, en qualsevol direcció continguda en el pla de la seua òrbita. Suposarem que el cos és petit, de manera que el seu llançament no altera apreciablement la trajectòria circular de la nau espacial. Comprovarem la complexitat de les trajectòries que descriu el cos vist per un astronauta que viatja en la nau espacial. Finalment, farem algunes aproximacions per tal de descriure-les de forma analítica.
Moviment circular de la nau espacial al voltant de la Terra
Exemple Suposem que la nau espacial descriu una òrbita circular a una altura de 4000 km sobre la superfície de la Terra, r0 = 6.37·106 + 4.0·106 = 10.37·106 m.
El temps que tarda en fer una volta és P0 = 2πr0/v0 = 10506 s.
Moviment del cos que està a una altura determinada sobre la nau espacialConsiderem primer el cas més simple, el moviment d'un cos que està a una distància h de la nau espacial, mesurada al llarg de la direcció radial i que en l'instant inicial té la velocitat de la nau. Es deixa anar el cos i comprovem que els dos es mouen en òrbites diferents.
Considerem dos casos: que h siga positiva (l'altura del cos siga major que la de la nau espacial) o que h siga negativa (la altura del cos siga menor que la de la nau espacial). La constància del moment angular i de l'energia del cos permeten calcular la distància màxima o mínima r2 i la seua velocitat v2, si coneixem la distància mínima o màxima r1 = r0+ h i la seua velocitat v1= v0,
El semieix major de l'el·lipse és a = (r1+ r2)/2 i el període P, o temps que tarda el cos en fer una volta completa, és
En la figura veiem la trajectòria seguida per un cos subjecte a la nau espacial i que es deixa anar en l'instant inicial amb la mateixa velocitat v0 que du la nau. En la figura de l'esquerre, l'altura de l'objecte és menor que la de la nau espacial, h < 0, el cos va per davant de la nau. En la figura de la dreta, l'altura de l'objecte és major que la de la nau espacial, h > 0, el cos va per darrere de la nau. Exemple
Posició relativa del cos respecte de la nau espacialLa posició del cos respecte del Sistema de Referència Inercial situat en el centre de la Terra és x = r·cosθ on r i θ són funcions del temps t (vegeu l'equació de la trajectòria)
En el Sistema de Referència no Inercial l'eix X' és la direcció radial i l'eix Y' és la direcció tangent a la circumferència de radi r0. Si x' > 0 el cos està per damunt de la nau espacial i si x' < 0 el cos està per baix. Si y' > 0, el cos es mou per davant i si y' < 0 el cos es mou darrere de la nau espacial.
ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Comença. En la part esquerre de la miniaplicació (applet) es representa el moviment dels dos cossos al voltant de la Terra:
A la dreta de la miniaplicació (applet) es representa la trajectòria seguida pel cos vista per un astronauta que viatja en la nau espacial.
Les distàncies, tant en l'eix horitzontal Y' com en el vertical X', estan expressades en km. Per tal de poder veure adequadament la trajectòria es pot triar l'escala en el control de selecció Escala i, tot seguit, es pitja el botó Comença. |
|
Moviment d'un cos que es llança des de la nau espacialSuposem que un cos de massa petita es llança des d'una nau espacial amb una velocitat relativa u que fa un angle α respecte de l'eix X' (direcció radial).
La velocitat v del cos i la seua direcció φ respecte del Sistema Inercial de Referència situat en el centre de la Terra es calculen sumant els vectors v = u + v0 de la figura. Les seues components són: vx = u·cosα El mòdul de la velocitat resultant v i la seua direcció φ són:
L'equació de la trajectòria del cos de massa m està determinada per l'energia i pel moment angular,
La trajectòria és independent de la massa m del cos i és una el·lipse si E < 0; el semieix major de l'el·lipse està girat un determinat angle, que es calcula fent r = r0 en l'equació de la trajectòria i aïllant l'angle θ. Vegeu les pàgines "Òrbites de la mateixa energia", "Trajectòria d'un proyectil disparat des d'una altura h sobre la superfície de la Terra" i "Xoc d'un meteorit amb la Terra".
Exemple Si r0 = 6.37·106 + 4.0·106, (4000 km d'altura sobre la superfície de la Terra)
ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Comença. En la parte esquerre de la miniaplicació (applet) es representa el moviment dels dos cossos al voltant de la Terra:
A la dreta de la miniaplicació (applet) es representa la trajectòria seguida pel cos, vista per un astronauta que viatja en la nau espacial.
Les distàncies, tant en l'eix horitzontal Y' com en el vertical X' estan expressades en km. Per tal de poder veure adequadament la trajectòria es pot triar l'escala en el control de selecció Escala i a continuació es pitja el botó Comença.
|
|
Descripció del moviment relatiu del cos. Solució numèricaEl cos de massa m està sotmés a una força atractiva F la direcció de la qual és radial i apunta cap al centre de la Terra. El mòdul de la força ve donat per la llei de la Gravitació Universal
on r és la distància entre el centre del cos i el centre de la Terra, i x i y la seua posició respecte d'un Sistema de Referència Inercial l'origen del qual està situat en el centre de la Terra.
Apliquem la segona llei de Newton i expressem l'acceleració com a derivada segona de la posició; obtenim un sistema de dues equacions diferencials de segon ordre,
Les relacions entre les coordenades del cos mesurades en el Sistema de Referència Inercial (x,y) i les mesurades en el Sistema de Referència no Inercial (x’,y’) són x = x’cos(ωt) - y’sin(ωt) Calculem les derivades segones de x i de y respecte del temps t, d2x/dt2 i d2y/dt2, i obtenim un sistema de dues equacions diferencials en termes de x’ i y’ i les seues derivades. Multipliquem la primera equació per cos(ωt) i la segona per sin(ωt) i les sumem. Obtenim l'equació diferencial
Multipliquem la primera equació per -sin(ωt) i la segona per cos(ωt) i les sumem. Obtenim l'equació diferencial
Els dos termes que han aparegut en la part esquerre de l'equació diferencial representen les pseudoforces per unitat de massa, anomenades de Coriolis i centrífuga. Donades les condicions inicials (posició i velocitat inicial), el sistema de dues equacions diferencials es pot integrar aplicant un procediment numèric.
Com que la nau espacial dista r0 del centre de la Terra, la posició del cos vista per un astronauta que viatja en la nau espacial té per abscissa x’-r0 i per ordenada y’ (vegeu la figura de l'apartat "Posició relativa del cos respecte de la nau espacial").
Una solució analítica senzillaUn astronauta que ix de la nau espacial adquireix una velocitat relativa mitjançant l'impuls de petits coets situats en la seua motxilla, o mitjançant l'acció dels músculs dels braços o cames recolzats en l'exterior de la nau. En els dos casos, la velocitat relativa u de l'astronauta respecte de la nau espacial és molt petita en comparació amb la velocitat v0 de la nau, i el temps que tarda en moure's d'un lloc a un altreés molt petit en compració amb el període P0, o temps que tarda la nau en completar una òrbita. En la taula següent es proporcionen algunes dades.
Tanmateix, com comprovarem en aquest apartat, la desviació de la trajectòria seguida per l'astronauta, o qualsevol altre cos, respecte de la línia recta és molt acusada fins i tot per a desplaçaments petits. De nou, considerem que la nau espacial es mou en una òrbita circular de radi r0. En el Sistema de Referència (S. R.) Inercial que té l'origen en el centre de la Terra la posició de la nau espacial ve donada pel vector r0, de mòdul r0 constant, i que gira amb velocitat angular constant ω = v0/r0. La posició del cos està indicada pel vector r. Descrivim el moviment de l'astronauta en el S. R. no Inercial amb l'origen en la nau i els eixos del qual són la direcció radial i tangencial, respectivament. Aquestos eixos, que anomenarem X’ i Y’, giren amb velocitat angular ω, vistos des del S. R. Inercial situat en la Terra (vegeu l'apartat "Descripció del moviment del cos. Solució numèrica").
Les fórmules que relacionen la velocitat v’ i l'acceleració a’, mesurades en el S. R. no Inercial, amb la velocitat v i l'acceleració a mesurades en el S. R. Inercial, són les següents:
ω = ωk és el vector velocitat angular de rotació que té una direcció (eix Z) perpendicular al pla de l'òrbita i un sentitque apunta cap al lector, si la nau espacial gira en sentit antihorari; v’ és la velocitat de l'astronauta en el S. R. no Inercial. Per simplicitat, restringirem el moviment del cos al pla de l'òrbita de la nau.
Per tal d'obtenir una expressió analítica senzilla, suposarem que les forces d'atracció gravitatòria i la força centrífuga són iguals i oposades en les proximitats de l'òrbita circular de radi r0 en la qual es va a moure el cos. Aquesta és la raó de la sensació de carència de pes que experimenta un astronauta en l'interior de la nau i per la qual els observem que s'hi mouen lliurement,
Suposarem, per tant, que l'única acceleració que afecta al cos en el S. R. lligat a la nau és la de Coriolis.
L'acceleració a’ de l'astronauta en el S. R. no Inercial és a’ ≈ -2ωk × (vx’i + vy’j) = 2ωvy’i - 2ωvx’j En forma d'equació diferencial, escriurem
Derivem de nou respecte del temps i desacoplem les dues equacions diferencials
Tenim dues equacions diferencials la solució de les quals és similar a la d'un Moviment Harmònic Simple (MHS) però en la velocitat (no en la posició), vx’ = Asin(2ωt)
+ Bcos(2ωt) Els coeficients A, B, C i D es determinen a partir de les condicions inicials: en l'instant t = 0 el cos ix de l'origen x’ = 0, y’ = 0, amb velocitat inicial v0x’ = u·cosα, v0y’= u·sinα; les components de l'acceleració (derivada de la velocitat) inicial són a0x’= 2ωv0y’ i a0y’ = -2ωv0x’
Integrem de nou, i tenim en compte que el cos ix de l'origen, x’ = 0, y’ = 0, en l'instant t = 0,
Casos particulars
En la figura es mostren les trajectòries seguides per un cos llançat en l'interior de la nau espacial amb una velocitat de 0.3 m/s en diverses direccions. La nau espacial està descrivint una òrbita circular a 400 km d'altura. La fletxa de color roig assenyala la direcció i el sentit del moviment de la nau espacial. Com menor és la velocitat del cos, i com major és la velocitat angular de la nau espacial, més es desvia la trajectòria seguida pel cos d'una lína recta.
ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Comença. La miniaplicació (applet) representa una estació espacial de 100 m de longitud. Es llança un cos des del centre de la nau en una direcció determinada. La recta de color roig assenyala la trajectòria que seguiria el cos en una nau espacial situada en una regió lliure de forces. La corba en color blau assenyala la trajectòria del cos la direcció de la velocitat del qual és desviada per l'acceleració de Coriolis. Podem mesurar la desviació que experimenta l'astronauta i la influència de l'altura de la nau espacial o de la seua distància al centre de la Terra, r0, la direcció α de la velocitat inicial i el mòdul u d'aquesta velocitat.
|
|
Una solució analítica més completaLa solució donada en l'apartat anterior és válida tan sols:
En aquest apartat presentem una solució que no es basa en aproximacions tan dràstiques i, per tant, la seua validesa és més general. La fórmula que relaciona l'acceleració a’, mesurada en el S. R. no inercial, amb l'acceleració a, mesurada en el S. R. inercial, és la següent:
La relació entre els tres vectores és r = r0 + r’. L'acceleració a’ s'escriu
Si la distància entre el cos i la nau espacial es manté petita, en comparació amb el radi r0 de l'òrbita de la nau espacial, podem desenvolupar en sèrie l'acceleració de la gravetat i negligir els termes en (r’/r0)2. El mòdul del vector r = r0 + r’ és
El mòdul de l'acceleració de la gravetat s'aproxima a
L'acceleració a' del cos en el S. R. no Inercial és
En una òrbita circular de radi r0 la força centrífuga i la força d'atracció s'anul·len, de manera que es cancel·len el primer i el sisé terme de la llarga expressió de l'acceleració a’ i, a més a més, es negligeix el quart terme en r’2/r0. La compensació de la força d'atracció gravitatòria i de la força centrífuga,
produeixen el sentit d'ingravidesa que experimentaen els astronautes en una nau espacial. L'acceleració a’ del cos en el S.R. no Inercial es pot aproximar a
Restringim el moviment del cos al pla de l'òrbita i calculem els productes vectorials dels vectors: r’ = x’ i + y’ j Resulta el sistema d'equacions diferencials
Derivem la primera equació diferencial i sustituïm la segona en la primera, i desacoplem el sistema de dues equacions diferencials
Tenim una equació diferencial que té una solució semblant a la d'un Moviment Hrmònic Simple (MHS) però en la velocitat (no en la posició), vx’ = Asin(ωt) + Bcos(ωt) Els coeficients A i B es determinen a partir de les condicions inicials: en l'instant t = 0 el cos ix de l'origen x’ = 0, y’ = 0, amb velocitat inicial v0x’ = u·cosα, v0y’ = u·sinα, i les components de l'acceleració inicial són a0x’ = 2ωv0y’ a0y’ = -2ωv0x’ vx’ = 2v0y’sin(ωt) + v0x’cos(ωt) o bé,
Integrem de nou, tenim en compte que el cos ix de l'origen x’ = 0, en l'instant t = 0,
Integrem la segona equació diferencial
El resultat és
S'integra de nou, amb la condició inicial que x’ = 0 en l'instant t = 0,
Casos particulars
En la figura veiem que la trajectòria en aquest cas és complexa. A l'esquerre, en veiem l'evolució durant els primers instants i a la dreta durant un poc menys de dos períodes de revolució de la nau espacial.
ReferènciesButikov E. I. Relative motion of orbiting bodies. Am. J. Phys. 69 (1) January 2001, 63-67. Freedman R. A., Helmy I., Zimmerman P. D. Simplified navigation for self-propelled astronauts. Am. J. Phys. 43 (5) May 1975, 438-440. |
Moviment relatiu
