Dinàmica celeste |
El Sistema Solar Mesura de la velocitat de la llum La Lluna El fenomen de les marees
Desviació cap a l'est d'un cos que cau (I) Desviació cap a l'este d'un cos que cau (II) Xoc d'un meteorit amb la Terra Mesura de G La forma de la Terra |
Intensitat del camp gravitatori g
produït per la Terra
Túnel per l'interior de la Terra Moviment sobre una superfície horitzontal |
|||||||||||||
|
Negligirem el fregament. Suposarem que la Terra no gira sobre el seu eix i que és perfectamente esfèrica, de densitat uniforme, i que el túnel té un diàmetre suficientement petit per tal que no afecte la força d'atracció que fa la Terra sobre la partícula considerada. Podríem imaginar que es fa un túnel que travesse la Terra des de l'estat espanyol fins als antípodes, situats a Nova Zelanda. Una persona que s'introduira en el túnel a Alacant eixiria per l'extrem oposat després de 42 minuts de viatge, si resistira les temperatures elevades que hi ha en el centre de la Terra. Suposem que es fa un túnel que connecte les ciutats d'Alacant i Barcelona; una persona que s'introduira en el túnel en la ciutat d'origen arribaria a la destinació als 42 minuts, més o menys el temps de viatge en avió, sense tenir en compte la llarga espera en l'aeroport abans d'embarcar.
Intensitat del camp gravitatori g produït per la TerraEn la secció camp elèctric del capítol Electromagnetisme s'estudia un cas similar, el model de Kelvin-Thomson d'un àtom d'hidrogen (un ió hidrogenoide amb un sol electró. L'àtom té forma esfèrica de radi R i la càrrega positiva Q està distribuïda uniformement en l'esfera. El camp gravitatori i el camp elèctric tenen similituds i diferències: · El camp elèctric està associat a una propietat de la matèria que és la càrrega elèctrica. Hi ha dos tipos de càrrega, positiva i negativa. Les forces que descriuen les interaccions entre partícules carregades poden ser atractives o repulsives. · El camp gravitatori està associat a una propietat de la matèria que és la massa. La força que descriu la interacció entre dos partícules és sempre atractiva. El camp gravitatori produït per una distribució esfèrica de massa de radi R i massa M té una expressió similar al camp elèctric produït per una distribució esfèrica de càrrega de radi R i càrrega total Q. Per tal de calcular el camp gravitatori utilitzarem les equivalències següents, fonamentades en la llei de Gauss.
El camp gravitatori produït per una distribució esfèrica de massa de radi R i massa M en un punt situat a una distància r < R del centre és equivalent al camp gravitatori produït per la porció de massa continguda en l'esfera de radi r, en un punt de la seua superfície.
El camp gravitatori g produït per una distribució esfèrica i uniforme de massa de radi R i massa M té la direcció radial i el sentit cap al centre de la Terra. El seu mòdul val
Túnel per l'interior de la Terra
La component de la força al llarg de l'eix del túnel, Fx, és
La força Fx és proporcional al desplaçament x de la partícula respecte de la posició d'equilibri estable (Fx = 0) i de sentit contrari al desplaçament, un signe inequívoc que la partícula descriu un Moviment Harmònic Simple (MHS). L'equació del moviment és
Obtenim l'equació diferencial d'un MHS de període P = 2π/ω,
La partícula descriu un MHS amb un període de 84.3 minuts,que és independent de l'amplitud.
Moviment sobre una superfície horitzontal
La força sobre la partícula és
La component x de la força, Fx = -F·sinθ = -F·x/r, és de sentit contrari al desplaçament però ja no és proporcional al desplaçament x sinò a x/r3. L'equació de moviment de la partícula serà ara
Si el desplaçament x és petit o l'angle θ és petit podem fer l'aproximació r ≈ R. La partícula descriu un MHS el període del qual és, de nou, 84.3 minuts, sempre que l'amplitud siga petita. Com en el pèndol simple, el període de les oscil·lacions depén de l'amplitud i es pot considerar constant en l'aproximació de desviacions petites de la posició d'equilibri estable.
Òrbita circular al voltant de la Terra
El temps que tarda en fer una volta completa, o període, és
Els quadrats dels períodes són proporcionals als cubs del radi de la trajectòria circular (tercera llei de Kepler). Suposem que la Terra és perfectament esfèrica, sense accidents geogràfics i sense atmosfera que frene el moviment dels cossos. El període d'un satèl·lit artificial que passara just per damunt dels nostres caps seria el mateix que el període de les oscil·lacions d'un cos que viatjara per un túnel excavat en la Terra,
Aquest és el temps mínim que tarda un satèl·lit en fer una volta a la Terra.
El radi d'un satèl·lit geoestacionari s'obté si posem la dada P = 24·60·60 = 86400 s en la fórmula del període i aïllem r,
o bé 35 880 km per damunt de la superfície de la Terra.
S'introdueix:
Es pitja el botó Comença. S'observa el moviment oscil·latori d'una partícula que s'introdueix per l'extrem del túnel i es comprova que el període d'oscil·lació és aproximadament 84 minuts i és independent de la posició del túnel. L'amplitud de l'oscil·lació és la meitat de la longitud del túnel. Exemple Si prenem com a unitat de longitud el radi de la Terra, R = 6.37·106 m, i el túnel dista del centre de la Terra y = 0.6, l'amplitud és |
Romer R. The answer is forty-two. Many mechanics problems, only one answer. The Physics Teacher, 41, may 2003, 286-290.
Viatge per l'interior de
la Terra
