Cinemàtica

Moviment curvilini

Magnituds cinemàtiques

Moviment sota
l'acceleració constant
de la gravetat

Composició de
moviments

Tir d'un projectil
contra un blanc mòbil

Tir parabòlic
i moviment circular

Apuntar un canó
per a fer diana
sobre un blanc fix

Bombardejar un blanc
mòbil des d'un avió

Tirs a cistella

Prescindint del tauler

Efecte del tauler

Efecte del tauler

Activitats

Referències

El tauler com a espill

Quan una pilota rebota sobre un tauler rígid la component de la velocitat perpendicular al tauler en disminueix el valor i la component paral·lela resta inalterada.

Suposem que la trajectòria del c.m. del baló és un raig de llum que incideix sobre l'espill que constitueix el tauler. Les equacions següents descriuen l'impacte d'una pilota sobre una paret rígida:

on e és el coeficient de restitució, que es una característica del baló.

Per tant, podem establir la relació següent entre l'angle d'incidència i el reflectit:

Relacionem els triangles formats pel raig incident, el tauler i la base, que és la longitud de l'objecte i, per l'altra part, la prolongació del raig reflectit, el tauler i la base, que és la longitud de la imatge. Concloem que la longitud de la imatge és igual al quocient entre la longitud de l'objecte i el coeficient de restitució, és a dir, la imatge s'amplifica en un factor (1/e). Com menor siga el coeficient de restitució del baló, e, major serà l'amplificació.

Efecte del tauler

Utilitzarem un baló que té un coeficient de restitució e.

En la figura es mostra l'ar imaginari de 45/e cm de diàmetre subjecte al tauler per un suport de 15/e cm de longitud i situat a una altura de 3.175 m del terra.

Com que el diàmetre del baló és menor que el diàmetre de l'ar imaginari, per a introduir el baló hem de fer passar el centre del baló per un forat d'amplària igual a la diferència entre el diàmetre de l'ar imaginari, 45/e cm, i el diàmetre del baló, 25 cm.

El nostre blanc no es únic, sinó un conjunt de punts compresos entre x'_a = 0.6/e - 0.125 m, i x'_b = 0.15/e + 0.125, situats a l'altura h = 3.175 m del terra. Fixada la velocitat de llançament, v₀, per a cada posició inicial del baló en aquest interval li corresponen un o dos intervals angulars que donen lloc a una encistellada, siga per dalt o per baix de l'ar.

Calcularem aquestos angles de tir que fan que entre el baló per l'ar, per a una velocitat v₀ o una energia W del baló.

Si la posició inicial del baló es troba a una distància x₀ del tauler i a una altura y₀ del terra, prenent com a origen la posició del baló un extrem de l'interval es troba en la posició (x₀+ x'_a ,h - y₀) i l'altre en (x₀+ x'_b, h - y₀). Calculem els angles de llançament que corresponen a aquestos dos punts d'impacte mitjançant l'equació de la trajectòria.

La presència del tauler ens permet introduir el baló a través de dos ars, l'ar real i l'ar imaginari situat darrere del tauler. Aquest últim té un diàmetre tant major com menor siga el coeficient de restitució e.

Exemple

Suposem que la posició del baló en el moment del llançament es troba a x₀= 2.5 m del tauler i y₀= 2 m sobre el terra i que utilitzem un baló el coeficient de restitució del qual és e = 0.8.

Les coordenades d'un extrem de l'interval, prenent com a origen la posició inicial del baló, són:

x = x₀+ x'_a= 2.5 + 0.6/0.8 - 0.125 = 3.125 m
y = h - y₀= 3.175 - 2 = 1.175 m

Siga W = 8 l'“energia” en el moment del llançament; per a calcular els angles θ_a calculem les arrels de l'equació de segon grau:

Els angles que obtenim són θ_a= 77.4º i 33.2 º.

Les coordenades de l'altre extrem de l'interval, prenent com a origen la posició inicial del baló, són:

x = x₀+ x'_b= 2.5 + 0.15/0.8 + 0.125 = 2.8125 m
y = h - y₀ = 3.175 - 2 = 1.175 m

Els angles que obtenim són θ_b= 78.7º i 34.0 º.

El baló llançat des de la posició x₀= 2.5 m des del tauler a y₀= 2 m del terra amb una “energia” de W = 8 unitats passa a través de l'ar imaginari si l'angle de llançament està comprés entre 77.4º i 78.8º o bé entre 33.2º i 34.0º. En el segon cas els balons entren per baix de l'ar i, naturalment, no són comptabilitzats com a encistellades.

A partir de les dades de la distància del baló al tauler i de l'altura del baló sobre el terra podem obtenir el conjunt dels angles q  i de les "energies" W de la partícula que ens permeten introduir el baló per l'ar imaginari o per l'ar real, després de rebotar en el tauler. Seleccionant un punto del pla (W, q) en la regió ombrejada de color roig situada a la dreta en la finestra de la miniaplicació (applet) estem seleccionant un angle de tir i una velocitat de tir que introdueixen el baló en la cistella.

Activitats

1. S'introdueix:

• Un valor menor que la unitat, en el control d'edició Coeficient de restitució.

• La distància del c.m. del baló al tauler, en el control d'edició Distància del baló al tauler.

• L'altura del c.m. del baló sobre el terra, en el control d'edició Altura del baló sobre el terra.

2. S'introdueix:

• L'"energia" W del llançament, en el control d'edició Energia.

3. S'introdueix:

• L'angle q de tir, que estiga dins dels intervals assenyalats sobre l'eix dels angles.

• Modifiqueu l'angle sense modificar l'"energia".

• Modifiqueu també l'"energia".

• Experimenteu amb el programa.