Cinemàtica

Moviment circular

Moviment circular

Encontre de dos vehicles

Relació entre les magnituds
lineals i angulars

Cinta de casset

L'acceleracióormal

Deducció alternativa
de at i an

Activitats

Referències

Un casset és una caixa de plàstic que disposa de dues rodes petites en les qual s'enrotlla i es desenrotlla respectivament una cinta magnètica. Disposa d'un capçal que grava o reprodueix el so en la cinta, com es mostra en la figura.

Descripció

El radi inicial de les rodes sense cinta és r₀ = 1.11 cm i la velocitat de la cinta quan passa pel capçal és constant i igual a v = 4.76 cm/s. La cinta tarda un temps T en reproduir-se completament. Aquest temps depén de la longitud total de la cinta l = v·T.  El gruix h de la cinta és molt petit i el seu valor el determinarem més endavant.

La cinta en l'instant t = 0.

• El radi inicial de la roda esquerra és r₀ = 1.11 cm.

• El radi inicial de la roda de la dreta és R₀ = 2.46 cm, per a una cinta de T = 46.4 minuts de durada.

La cinta es desenrotlla de la roda dreta i s'enrotlla en l'esquerra. En un instant determinat t, la relació entre la velocitat lineal constant v de la cinta i les velocitats angulars de rotació de les rodes serà la següent:

• El radi de la roda esquerra serà r₁ i la seua velocitat angular ω₁= v/r₁

• El radi de la roda dreta serà r₂ i la seua velocitat angular ω₂ = v/r₂

Tot i que la velocitat v de la cinta és constant, les velocitats angulars ω₁ i ω₂ de les rodes no ho són perquè els seus radis r₁ i r₂ canvien amb el temps.

En cada volta 2π la roda esquerra n'incrementa el radi en h, el gruix de la cinta. Quan la roda esquerra gira un angle dθ₁ el seu radi s'haurà incrementat en dr₁,

La roda dreta haurà girat un angle dθ₂, el seu radi haurà disminuït en dr₂,

Integrem aquestes dues equacions entre l'instant t = 0 i l'instant t, tenint en compte que en l'instant t = 0,

• el radi de la roda esquerra és r₁ = r₀

• el radi de la roda dreta és r₂ = R₀

En l'instant t = T la cinta s'ha reproduït completament:

• el radi de la roda esquerra és r₁ = R₀

• el radi de la roda dreta és r₂ = r₀

Si mesurem els radis r₀ i R₀, el temps T i la velocitat v podem aïllar el gruix h de la cinta de la primera o de la segona equació. Si la durada de la cinta és de T = 46.4 minuts,

Els angles girats per les dues rodes es calculen integrant ω₁ i ω₂ respecte del temps t,

En l'instant t = T, r₁ = R₀ i r₂ = r₀, l'angle total girat per les dues rodes és el mateix,

Activitats

Introduïm

• La durada T de la cinta, en minuts, actuant sobre la barra de desplaçament Durada cinta, o introduint un nombre en el control d'edició.

Es pitja el botó Comença.

El programa interactiu utilitza la dada del gruix de la cinta h = 1.14·10^-3 cm, la velocitat lineal constant de la cinta v = 4.76 cm/s i el radi r₀ = 1.11 cm inicial de la roda, per a calcular el radi R₀ la roda dreta amb la cinta completamente enrotllada. Aquestes dades s'han pres de l'article esmentat en les referències.

Observarem el moviment de les rodes i la relació entre la velocitat angular de rotació i el seu radi a mesura que transcorre el temps. En la parte superior de la miniaplicació (applet) es mostren en cada instant els valors de r₁, ω₁, r₂ i ω₂. Comproveu que

r₁·ω₁ = r₂·ω₂ = v = 4.76 m/s.