Cinemàtica

Moviment circular

Moviment circular

Encontre de dos
vehicles

Relació entre les
magnituds
lineals i angulars

Cinta de casset

L'acceleració normal

Deducció alternativa
de at i an

Moviment circular uniformement accelerat

En aquesta secció definirem les magnituds característiques d'un moviment circular, anàlogues a les ja definides per al moviment rectilini.

Es defineix un moviment circular com aquell la trajectòria del qual és una circumferència. Una vegada situat l'origen O d'angles descriurem el moviment circular mitjançant les magnituds següents.

Posició angular, q En l'instant t el mòbil es troba en el punt P. La seua posició angular ve donada per l'angle q que fa el punt P, el centre de la circumferència C i l'origen d'angles O. L'angle q és el quociene entre la longitud de l'arc s i el radi de la circumferència r, q = s/r. La posició angular és el quocient entre dos longituds i, per tant, no té dimensions.

Velocitat angular, w

En l'instant t' el mòbil es trobarà en la posició P' donada per l'angle q'. El mòbil s'haurà desplaçat Dq = q' - q en l'interval de temps Dt = t' - t comprés entre t i t'.

S'anomena velocitat angular mitjana al quocient entre el desplaçament i el temps,

Com ja es va explicar en el moviment rectilini, la velocitat angular en un instant s'obté calculant la velocitat angular mitjana en un interval de temps que tendeix a zero.

Acceleració angular, a

Si en l' instant t la velocitat angular del mòbil és w i en l'instant t' la velocitat angular del mòbil és w', la velocitat angular del mòbil ha canviat Dw = w' - w en l'interval de temps Dt = t' - t comprés entre t i t'.

S'anomena acceleració angular mitjana al quocient entre el canvi de velocitat angular i l'interval de temps que tarda en fer el canvi,

L'acceleració angular en un instant s'obté calculant l'acceleració angular mitjana en un interval de temps que tendeix a zero,

Donada la velocitat angular trobeu el desplaçament angular

Si tenim un registre de la velocitat angular del mòbil podem calcular el seu desplaçament q - q₀ entre els instants t₀ i t mitjançant una integral definida,

El productew·dt representa el desplaçament angular del mòbil entre els instants t i t+dt, o siga en l'interval dt. El desplaçament total és la suma dels infinits desplaçaments angulars infinitesimals que hi ha entre els instants t₀ i t.

En la figura es mostra una gràfica de la velocitat angular en funció del temps; l'àrea en color blau mesura el desplaçament angular total del mòbil entre els instants t₀ i t, l'arc en color blau marcat en la circumferència.

Trobarem la posició angular q del mòbil en l'instant t sumant la posició inicial q₀ al desplaçament calculat mitjançant la mesura de l'àrea sota la corba w-t o mitjançant el càlcul de la integral definida de la fórmula anterior.

Donada l'acceleració angular trobeu el canvi de velocitat angular

De la mateixa manera que hem calculat el desplaçament angular del mòbil entre els instants t₀ i t a partir d'un registre de la velocitat angular w en funció del temps t, podem calcular el canvi de velocitat w - w₀ que experimenta el mòbil entre aquestos instants a partir d'una gráfica de l'acceleració angular en funció del temps,

En la figura, el canvi de velocitat w - w0 és l'àrea sota la corba a - t, o el valor numèric de la integral definida de la fórmula anterior. Si coneixem el canvi de velocitat angular w - w0 i el valor inicial w0 (en l'instant inicial t0) podem calcular la velocitat angular w en l'instant t.

Resumint, les fórmules emprades per a resoldre problemes de moviment circular són similars a les del moviment rectilini,

Moviment circular uniforme

Un moviment circular uniforme és aquell la velocitat angular w del qual és constant i, per tant, l'acceleració angular és zero. La posició angular q del mòbil en l'instant t la podem calcular integrant q - q0 = w·(t - t0) o, gràficament, en la representació de w en funció de t.

Habitualment, l'instant inicial t₀ es pren com a zero. Les equacions del moviment circular uniforme són anàlogues a les del moviment rectilini uniforme,

Moviment circular uniformement accelerat

	Un moviment circular uniformement accelerat és aquell l'acceleració del qual, a, és constant. Donada l'acceleració angular podem obtenir el canvi de velocitat angular w - w0 entre els instants t0 i t mitjançant integració, o gráficament,
	Donada la velocitat angular w en funció del temps obtenim el desplaçament q - q0 del mòbil entre els instants t0 i t gràficament (l'àrea de un rectangle + l'àrea d'un triangle), o integrant,

Habitualment, l'instant inicial t₀ es pren com a zero. Les fórmules del moviment circular uniformement accelerat són anàlogues a les del moviment rectilini uniformement accelerat,

Aïllant el temps t en la segona equació i substituint-lo en la tercera relacionem la velocitat angular ω amb el desplaçament θ - θ₀