Cinemàtica

Moviment circular

Moviment circular

Encontre de dos
  vehicles

Relació entre
les magnituds
lineals i angulars

Cinta de casset

L'acceleració normal

Deducció alternativa
de at i an

Problema de l'encontre de dos vehicles en moviment circular

Encontres de dos vehicles en moviment circular

Com a introducció plantejarem problemes sobre l'encontre entre dos vehicles en moviment rectilini per tal que els poguem comparar amb els encontres que tenen lloc quan els vehicles es mouen en una trajectòria circular.

Encontre de dos vehicles en moviment rectilini

Un automòbil que està aturat arranca amb una acceleració de 1.5 m/s². En aquest mateix instant és avançat per un camió que du una velocitat constant de 15 m/s. Calculeu la posició d'encontre entre els dos vehicles.

Escrivim les equacions del moviment de cadascun dels vehicles:

x₁ = 15·t
x₂ = 1.5t²/2

La posició d'encontre x₁ = x₂ dóna lloc a l'equació de segon grau

0.75t²-15t = 0

les solucions de la qual són t = 0 i t = 20.

L'instant d'encontre és  t_e = 20s i la posició d'encontre x_e = 300 m, mesurada des de l'eixida.

Solució gràfica

• Si tracem x₁en funció del temps t obtenim la línia recta de color blau.
• Si tracem x₂ en funció del temps t obtenim la corba de color roig (una paràbola).

El punt d'intersecció assenyala l'instant t_e d'encontre i la posició x_e d'encontre.

Veiem ara aquest altre problema un poc més complex.

Dos projectils es llancen verticalment cap a dalt amb dos segons d'interval. El primer amb una velocitat inicial de 50 m/s i el segon amb una velocitat inicial de 80 m/s. Calculeu l'instant i l'altura a la qual es trobaran.

Quan el primer projectil du un temps t > 2 movent-se el segon projectil du un temps t-2 en l'aire. Les equacions del moviment seran:

x₁ = 50·t - 9.8t²/2
x₂ = 80(t-2) - 9.8(t-2)²/2

L'instant i l'altura d'encontre es poden calcular resolent l'equació x₁ = x₂,: t_e = 3.62 s, x_e = 116.8 m.

Solució gràfica

• Si tracem x₁ en funció del temps t obtenim la corba de color blau.
• Si tracem x₂ en funció del temps t obtenim la corba de color roig.

El punt d'intersecció assenyala l'instant t_e d'encontre i la posició x_e d'encontre.

Problema d'encontre de dos vehicles en moviment circular

Dos vehicles descriuen la mateixa trajectòria circular. El primer està animat d'un moviment uniforme la velocitat angular del qual és 60 rpm; el segon està animat d'un moviment uniformement accelerat l'acceleració angular del qual val -p/6 rad/s2. Sabent que en l'instant inicial el primer mòbil passa per A i dos segons més tard el segon mòbil passa per B amb una velocitat angular de 120 rpm, calculeu: L'instant en el qual els mòbils es troben per primera vegada.

Veiem el moviment abans d'explicar el plantejament del problema.

Equacions del moviment de A: moviment circular uniforme

El mòbil ix de l'origen en l'instant t = 0,

a_A = 0
w_A= 2p
q_A= 2pt

Equacions del moviment de B: moviment uniformement accelerat

El mòbil ix de la posició p/2 en l'instant t = 2s.

Encontres

Els encontres no tan sols s'obtenen igualant les posicions dels dos mòbils, q_A= q_B, sinó també, i per ser la trajectòria circular, per a aquells angles la posició dels quals es diferencia en una circumferència completa.

q_A+ 2kp = q_B, amb k = 0, ± 1, ± 2, ± 3...

Examinem en un quadre la posició dels dos mòbils en funció del temps:

Com podem apreciar en la taula de les posicions dels mòbils A i B en funció del temps, el mòbil B passa al mòbil A entre els instants 2.7 i 2.8. El moment en el qual es produeix el primer encontre serà un instant t, a determinar, en l'interval de temps comprés entre 2.7 i 2.8 s.

La relació que hi ha entre les posicions del mòbil A i del mòbil B, com veiem en la taula, és

q_A - 2p = q_B

Aïllant el temps t en l'equació de segon grau obtenim l'instant del primer encontre, t = 2.77 s.

Si introduïm t en l'equació de la posició de A i de B obtenim la posició dels mòbils en l'instant de l'encontre:

q_A= 5.56p rad
q_B= 3.56p rad

Encontres de dos vehicles en moviment circular

La miniaplicació (applet) que hem presentat al principi de la pàgina tan sols serveix per a descriure l'enunciat del problema. Podem usar la miniaplicació (applet) següent per a resoldre qualsevol problema general d'encontres.

Equacions de moviment del primer cos:

Equacions del segon cos:

on t₀ es el temps que tarda el segon mòbil en inicial el moviment.

La particularitat de la miniaplicació (applet) és que en els controls d'edició no tan sols es poden introduir nombres sinó també fraccions del número p. Per exemple, si la velocitat d'un móvil és:

• p/2, s'introdueix pi/2.
• 3p/2, introduïm 3*pi/2 o bé 3pi/2.
• p, introduïm pi o PI.

El programa converteix el text en un nombre decimal de doble precisió.

S'introdueix:

Per al primer mòbil (color roig):

• La posició angular inicial θ₀₁ de partida en l'instant t = 0, en el control d'edició posició.
• La velocitat angular inicial ω₀₁ en l'instant t = 0, en el control d'edició velocitat.
• L'acceleració angular α₁ en el control d'edició acceleració.

Per al segon mòbil (color blau):

• La posició angular inicial θ₀₂ de partida en l'instant t = t₀, en el control d'edició posició.
• La velocitat angular inicial ω₀₂ en l'instant t = t₀, en el control d'edició velocitat.
• L'acceleració angular α₂, en el control d'edició acceleració.

El temps t₀, en el control d'edició temps de retard.

Finalment, l'interval de temps entre dues posicions consecutives de cadascun dels mòbils en l'àrea de treball de la miniaplicació (applet).