Cinemàtica |
Moviment circular Moviment circular Encontre de dos vehicles
Cinta de casset L'acceleració normal Deducció alternativa de at i an |
Magnituds lineals i angulars | |||||
Magnituds lineals i angulars
Derivant s = r·q respecte del temps obtenim la relació entre la velocitat lineal i la velocitat angular
La direcció de la velocitat és tangent a la trajectòria circular, és a dir, perpendicular a la direcció radial. Acceleració tangencialDerivant aquesta darrera relació respecte del temps obtenim la relació entre l'acceleració tangencial at i l'acceleració angular,
Un mòbil té acceleració tangencial sempre que el mòdul de la seua velocitat canvie amb el temps. Acceleració normalEl càlcul de la componente normal de l'acceleració és un poc més complicat. L'acceleració normal està relacionada amb el canvi de la direcció de la velocitat amb el temps. En un moviment circular uniforme no hi ha acceleració tangencial perquè el mòdul de la velocitat no canvia amb el temps, tan sols canvia la direcció; per tant, té acceleració normal.
Suposem un mòbil que descriu un moviment circular uniforme.
Calculem el canvi de velocitat Dv = v’-v que experimenta el mòbil entre els instants t i t', com es veu en la figura. El vector Dv té direcció radial i sentit cap al centre de la circumferència. Els triangles de color roig i de color blau de la figura són isòsceles i semblants, per la qual cosa podem establir la relació següent:
on la corda Δs és el mòdul del vector desplaçament entre els instants t i t'. Dividient els dos membres per l'interval de temps Dt = t' - t obtenim
Quan l'interval de temps Dt tendeix a zero la corda Ds s'aproxima a l'arc i el quocient ds/dt ens dóna el mòdul de la velocitat v del mòbil,
L'acceleració normal an té direcció radial i sentit cap al centre de la circumferència que descriu el mòbil, i el seu mòdul ve donat per una de les dues expressions següents:
Aquesta és la deducció més elemental de la fórmula de l'acceleració normal que es basa en la identificació de la longitud de l'arc entre dos punts de la circumferència amb la corda que passa per aquestos punts, quan els dos punts estan molt propers entre si. Una deducció alternativa ee proporciona en aquesta pàgina "Deducció alternativa de les fórmules de l'acceleració tangencial i normal". Resumint
Exemple Una roda de radi r = 0.1 m està girant amb una velocitat de ω0 = 4π rad/s; se li apliquen els frens i s'atura en 4s. Calculeu:
Moviment d'una bicicletaUna bicicleta de muntanya disposa de tres plats i set pinyons de radi diferent, el que proporciona 21 canvis de marxa al ciclista. Suposarem que el ciclista fa girar el plat amb velocitat angular constant w1. Quina és la velocitat v que adquireix el ciclista sobre la bicicleta? Suposarem que coneixem les dades relatives a la bicicleta:
Tot i que en la major part de les bicicletes els radis de les dues rodes són iguals, en algunes com les de competició contra-rellotge són diferents, com en la simulació de més avall. La figura representa un plat i un pinyó units per una cadena. No és necessari saber Cinemàtica per a establir una relació entre les velocitats angulars respectives i concloure que les velocitats angulars són inversament proporcionals als seus radis respectius.
La velocitat de la cadena, vc, és la mateixa que la velocitat d'un dent del plat, vc = w1·r1 La velocitat de la cadena, vc, és la mateixa que la velocitat d'un dent del pinyó, vc = w2·r2 Tenim, d'aquesta manera, la relació entre les velocitats angulars w1 i w2, w2·r2 = w1·r1 En el temps t un eslabó de la cadena es mou de A a B. Un dent del plat gira un angle q1 i un del pinyó gira un angle q2. Tindrem aleshores la relació següent: q2·r2 = q1·r1 Ara ens fixarem en la roda de darrere. Si suposem que el pinyó és fix, la velocitat angular del pinyó, w2, és la mateixa que la velocitat angular de la roda de darrere.
De manera que la velocitat va d'un punt de la perifèria de la roda és va = w2·ra Aquesta és la velocitat v amb la qual es mou el ciclista sobre la bicicleta. En el capítol sobre el sòlid rígid estudiarem amb més detall la relació entre la velocitat de translació i la velocitat de rotació d'un sòlid que roda sense lliscar. L'angle girat per la roda en el temps t serà q a= w2·t L'eix de la roda de davant està unit a l'eix de la roda de darrere mitjançant l'estructura rígida de tubs de la bicicleta. La velocitat de translación de la roda de davant és la mateixa que la de la roda de darrere. La velocitat angular de la roda de davant serà v= w b·rb i l'angle girat per aquesta roda en el temps t q b= w b·t Exemple Les dades següents estan fixades en el programa interactiu:
Els radis del pinyó i del plat es poden canviar; els valors seleccionats inicialment són:
Velocitats Velocitat angular del pinyó: 3.5·w2 = 1.0·7.0 w2 = 2 rad/s Aquesta és també la velocitat angular de la roda de darrere. La velocitat del ciclista sobre la bicicleta és: v = 2·30 = 60 cm/s = 0.6 m/s La velocitat angular de la roda de davant és: 60 = w b·20 w b= 3 rad/s Desplaçaments En el temps de t =1.0 s, - la bicicleta es desplaça x = v·t = 60·1.0 = 60 cm = 0.6 m - l'angle girat pel plat és q1= w1·t = 1.0·1.0 = 1.0 rad - l'angle girat per la roda de darrere és q a = w2·t = 2.0·1.0 = 2.0 rad - l'angle girat per la roda de davant és qb = w b·t = 3·1.0 = 3 rad Per a treballar amb el programa interactiu:
Les dades següents estan fixades en el programa interactiu:
Es pitja el botó Comença. Observem el moviment de les dues rodes de la bicicleta, del plat i del pinyó. En la part superior de la miniaplicació (applet) sens proporcionen les dades relatives a:
|
Relació entre
