Cinemàtica

Moviment circular

Moviment circular

Encontre de
dos vehicles

Relació entre
les magnituds
lineals i angulars

Cinta de casset

L'acceleració normal

Deducció alternativa
de at i an

Activitats

Referències

Galileu i Descartes ja van reconéixer que una partícula que descriu un moviment circular uniforme té acceleració. Huygens va ser el primer que va resoldre aquest problema. Tanmateix, el procediment emprat per Newton per a deduir la fórmula de l'acceleració normal té l'avantatge de ser molt més fàcil d'entendre.

La deducció de la fórmula de l'acceleració normal es basa en l'anàlisi de la trajectòria poligonal que seguix una partícula que xoca contra una superfície cilíndrica. Aquesta deducció no s'ha de prendre de forma rigorosa sinó com un exercici d'importància històrica.

Deducció de la formula de l'acceleració normal, per Newton

Com veurem en aquesta deducció, l'important és el canvi en la direcció de la velocitat, no la causa que produeix aquest canvi, siga el xoc amb la superfície rígida, l'acció de la gravetat, etc.

Considerem una partícula que es mou en línia recta amb velocitat constant v i que xoca contra una superfície rígida. Com veiem en la figura, la component de la velocitat v que és perpendicular a la superfície, v·cosq, canvia de sentit en el moment de l'impacte. Tanmateix, la component que és paral·lela a la superfície, v·sinq,  no canvia durant l'impacte. El canvi de velocitat que experimenta la partícula en el xoc contra la superfície rígida és Dv = 2v·cosq

Suposem ara que la superfície rígida adopta la forma cilíndrica de radi r.

El canvi de velocitat en cada impacte, Dv, és la diferència entre la velocitat final v’ (en color blau) i la velocitat inicial v (en color roig). La direcció d'aquest canvi de velocitat Dv és radial i apunta cap al centre de la trajectòria que descriu la partícula. El seu mòdul val

Aquesta mateixa expressió es pot deduir en el diagrama de velocitats calculant el costat Dv del triangle isòsceles de vértex f que formen els vectors velocitat abans i després de l'impacte.

La velocitat de la partícula és constant en els trams rectes i, per tant, l'acceleració és nul·la. Quan xoca amb la superfície rígida la partícula canvia bruscament la direcció de la seua velocitat tot i que no el seu mòdul, i l'acceleració en l'instant de l'impacte és infinita. L'acceleració mitjana, com veurem, ens condueix a la fórmula de l'acceleració normal.

Després de n impactes contra la superfície rígida la partícula descriu una trajectòria que és un polígon regular de n costats. Tenint en compte que l'angle f = 2p/n, el canvi total de velocitat que experimenta la partícula després de n impactes és

Calculem ara el temps que tarda la partícula en descriure la trajectòria, un polígon regular de n costats.

En el triangle isòsceles format per un costat i dos radis calculem el valor del costat, coneixent l'angl f del vértex. La longitud del perímetre del polígon regular és

La partícula canvia la direcció de la seua velocitat en cada impacte però no en canvia el mòdul. Per tant, el temps que inverteix en recórrer la trajectòria poligonal és P = l/v.

El valor mitjà del mòdul de l'acceleració és

L'acceleració mitjana per a infinits impactes

El canvi total de velocitat que experimenta la partícula després de n impactes és

Quan n és molt gran (tendeix a infinit) l'angle f és molt petit i podem substituir el sinus per l'angle. De manera que el canvi total de velocitat que experimenta la partícula és

Quan n és molt gran (tendeix a infinit) el perímetro del polígono regular (trajectòria) que descriu la partícula s'aproxima a una circumferència de radi r.

Com que el mòdul de la velocitat de la partícula v no canvia en els impactes amb la paret rígida, el temps P que tarda en descriure la circumferència és

El mòdul de l'acceleració mitjana és

A causa de la simetria de la trajectòria circular l'acceleració mitjana és l'acceleració de la partícula en cada instant,

Activitats

• S'introdueix el radi de la paret rígida circular en el control d'edició Radi.
• S'introdueix la velocitat de la partícula en el control d'edició Velocitat.

Es pitja el botó Nou.

Veiem tres impactes de la partícula amb la paret rígida. La partícula descriu una trajectòria en forma de triangle equilàter.

Pitjant el botó Següent la partícula descriu trajectòries que són polígons regulars de n = 4, 6, 10, 12...  costats.

El programa calcula:

• El temps que tarda la partícula en descriure la trajectòria poligonal.
• El canvi de velocitat en cada impacte.
• El canvi de velocitat en els n impactes amb la paret rígida.
• L'acceleració mitjana <a>.

També es representen en cadascun dels impactes els vectors velocitat inicial, velocitat final i el canvi de velocitat, mitjançant fletxes de color roig, blau i negre. Podem observar que la direcció del vector Dv és radial i dirigit cap al centre.