Cinemàtica |
Moviment circular Moviment circular Encontre de Relació entre Cinta de casset L'acceleració normal
|
Moviment
circular uniforme
Deducció alternativa de les fórmules de l'acceleració tangencial i normal |
|
|
És interessant explorar altres deduccions alternatives de la fórmula de l'acceleració normal. En aquest cas es presenta una deducció que té l'avantatge de que es pot extendre a moviments circulares no uniformes. Aquestes deduccions es poden comparar amb les fetes en les pàgines "Relació entre les magnituds angulars i lineals" i Deducció de la fórmula de l'acceleració normal seguint el procediment de Newton.
Moviment circular uniformeConsiderem que una partícula descriu un moviment circular de radi r amb velocitat constant v.
La partícula es troba en la posició A en l'instant t - Dt/2 i la seua velocitat (tangent a la trajectòria) és v1. La partícula es troba en la posició simètrica B en l'instant t + Dt/2 i la seua velocitat és v2. Col·loquem els dos vectors velocitat v1 i v2 que tenen la mateixa longitud v amb vèrtex en el punt P i calculem les components radial o normal i tangencial del vector diferència, Dv = v2 - v1.
Per tant, el vector Dv és paral·lel a la direcció radial PO i està dirigit cap al centre O. Com que la partícula recorre l'arc AB d'angle 2f amb velocitat v constant,
El valor mitjà de la component normal de l'acceleració és, per tant,
La component normal de l'acceleració instantània és el límit de l'acceleració mitjana quan l'interval de temps Dt ® 0, o bé quan f ® 0. En aquest límit, sinf/f ® 1 i, per tant, la component normal de l'acceleració en l'instant t o en el punt P és
Naturalment, la component tangencial de l'acceleració és zero en aquest instant, at = 0.
Moviment circular no uniformeSuposem que la partícula passa pel punt A en l'instant t - Dt1 i du una velocitat v1 (tangent a la trajectòria), i passa pel punt simètric B en l'instant t - Dt2 amb una velocitat v2. Com que el moviment no és uniforme els mòduls de les velocitats seran diferents. Calculem les components radial o normal i tangencial del vector diferència, Dv = v2- v1.
En no ser els vectors velocitat d'igual mòdul, el vector diferència Dv i per tant l'acceleració, no tenen, en general, direcció radial. La partícula recorre l'arc AB d'angle 2f emprant un temps Dt = Dt1+ Dt2. La velocitat mitjana <v> de la partícula en aquest interval de temps és
La component normal i tangencial de l'acceleració seran, per tant,
En el límit, quan l'interval de temps Dt ® 0, o bé quan f ® 0, es compleix que sinf/f ® 1, cosf ® 1. La velocitat mitjana <v> ® v és la velocitat en l'instant t quan el mòbil passa per P, i també la velocitat mitjana (v1+v2)/2 ® v. D'aquesta manera obtenim la mateixa fórmula de la component normal de l'acceleració que en l'apartado anterior. Pel que fa a la component tangencial, el numerador és un canvi infinitesimal en el mòdul de la velocitat, dv, i el denominador és el temps dt que tarda la partícula en fer aquest canvio. Les components de l'acceleració seran, per tant,
Deducció alternativa de les fórmules de l'acceleració tangencial i normal
El vector velocitat v s'obté derivant el vector posició respecte del temps
El vector acceleració s'obté derivant el vector velocitat
El vector acceleració té dues components, que podemos expressar de dues formes, en virtut de les relacions entre magnituds angulars i lineals. La component radial està dirigida cap al centre de la circumferència: an= w2r = v2/r La component tangencial té la direcció de la velocitat, tangent a la trajectòria: at = a r = dv/dt.
ReferènciaLeff H. Acceleration for circular motion. Am. J. Phys. 70 (5) May 2002. |
Deducció alternativa
de at i an
