Cinemàtica |
Moviment relatiu Moviment relatiu de traslació uniforme
Acceleració centrífuga |
Vector posició | |||
|
Quan un cos es mou sobre la superfície de la Terra està sotmés a dues forces, la força centrífuga i la força de Coriolis. La força de Coriolis és la responsable de la rotació del pla del pèndol de Foucault, de la circulació de l'aire al voltant dels centres de baixa o alta pressió, de la desviació de la trajectòria de projectils de llarg abast, de la rotació de l'aigua quan ix pel desaigüe de la banyera, etc. La força centrífuga és responsable del canvi en el mòdul i en la direcció de l'acceleració de la gravetat a distintes latituds. Les forces reals, com ara la força que fa una molla, la força d'atracció gravitatòria, les forces elèctriques o magnètiques, etc., són les que descriuen les interaccions entre els cossos. Les forces d'inèrcia tan sols s'observen en sistemes de referència accelerats; per a distingir-les de les forces reals s'anomenen també forces fictícies o pseudoforces. La introducció d'aquest tipus de forces junt amb les reals facilita la resolució dels problemes de Mecànica en els sistemes de referència en moviment relatiu de rotació uniforme, com ara la Terra. Les fórmules que relacionen la velocitat v’ i l'acceleració a’, mesurades en un sistema no inercial, amb la velocitat v i l'acceleració a mesurades en el sistema inercial, són les següents:
La seua justificació la podem trobar en els llibres de text.
Vector posicióUna partícula P es mou al llarg de l'eix X amb velocitat constant v. Si en l'instant inicial, t = 0, es troba en la posició x0, determineu la trajectòria en el sistema no inercial que gira amb velocitat angular constant w en el sentit de les agulles del rellotge. Sistema inercial La posició de la partícula P en funció del temps és x = x0+vt El vector posició és r = xi La trajectòria de la partícula és rectilínia.
Vector velocitatSistema inercial La velocitat v de la partícula P és constant, v = vi Sistema inercial Derivant respecte del temps obtenim la velocitat de la partícula mesurada en el sistema inercial:
Comparem aquest resultat amb el que ens proporciona la fórmula
Amb v = vi s'obté v’=vi+w xj
Obtenim de nou el vector velocitat v’
Vector acceleracióSistema inercial La velocitat v de la partícula P és constant en mòdul i direcció a = 0 Sistema no inercial Derivant les components de la velocitat respecte del temps obtenim l'acceleració a’ mesurada en el sistema no inercial,
Veiem-ho ara mitjançant la fórmula
Les dades que tenim són
Calculem cada acceleració separadament. Acceleració de Coriolis-2w ´ v’= -2(-w k)(vxi’ + vyj’) = -2w vyi’ + 2w vxj’ = -2w (v·sin(w t) + x·w·cos(w t))i’ + 2w (v·cos(w t) - x·w sin(w t))j’
En la figura es mostra que l'acceleració de Coriolis és sempre perpendicular a la velocitat v'. A l'esquerra es mostra el producte vectorial en l'espai i a la dreta la mateixa representació en el pla. Acceleració centrífuga-w ´ (w ´ r) amb r = x·cos(w t)i’ + x·sin(w t)j’ -w ´ (w ´ r) = -(-w k) ´ (w ·x·sin(w t)i’-w ·x·cos(w t)j’) = w2·x·cos(w t)i’ + w2·x·sin(w t)j’
En la figura es mostra el resultat del triple producte vectorial. L'acceleració centrífuga té direcció radial. Sumant les dues contribucions tornem a obtenir l'acceleració a’ mesurada en el sistema no inercial, a’ = (-2w ·v·sin(w t) - w2·x·cos(w t))i’ + (2w ·v·cos(w t) - w2·x·sin(w t))j’
ActivitatsS'introdueixen les dades següents:
Es pitja el botó Comença. Per a veure la representació del vector velocitat, acceleració centrífuga i acceleració de Coriolis activeu la casella Vectors. |
Simulació del pèndol de FoucaultEl 1851 Jean Leon Foucault ba penjar un pèndol de 67 m de llarg de la cúpula dels Invàlids en París. Un receptacle que contenia sorra estava subjecte a l'extrem lliure i el fil de sorra que queia del cub mentre oscil·lava el pèndol assenyalava la trajectòria. Va demostrar experimentalment que el pla de oscil·lació del pèndol girava 11º 15’ cada hora. L'experiment de Foucault és una prova efectiva de la rotació de la Terra. Tot i que la Terra estiguera coberta de núvols, aquest experiment haguera demostrat que té un moviment de rotació. En aquesta simulació, el moviment del pèndol se substitueix pel moviment Harmònic Simple d'un punt P, x = A·sin(wpt) on wp és la freqüència angular d'oscil·lació d'aquest pèndol imaginari. Es dibuixa la trajectòria en el sistema no inercial OX’Y’ aplicant la transformació x’ = x·cos(w
t) on w és la velocitat angular de rotació. En la figura es mostra l'angle girat pel pla d'oscil·lació del "pèndol" durant el període d'una oscil·lació. El pèndol parteix de A i regressa a B, per a iniciar llavors una nova oscil·lació. L'angle girat és Dq = w·P, on P = 2p/wp és el període d'una oscil·lació.
L'angle girat pel pla d'oscil·lació del pèndol en una hora és el producte de Dq pel nombre d'oscil·lacions que fa el pèndol en una hora. Dq·60·60/P = w ·60·60 = 15º a l'hora, tenint en compte que la velocitat angular de rotació w de la Terra és de 360º en 24 h.
Sabent que la latitud de París és d'aproximadament 49º, el pla de oscil·lació del pèndol de Foucault gira a raó de 11.3º cada hora.
ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Comença. |
Moviment relatiu de
rotació uniforme
