Cinemàtica

Moviment curvilini

Magnituds cinemàtiques

Moviment sota l'acceleració
constant de la gravetat

Tir parabòlic
i moviment circular

Composició de
moviments

Tir d'un projectil
contra un blanc mòbil

Apuntar un canó per a
fer diana sobre un blanc fix

Bombardejar un blanc
mòbil des d'un avió

Tirs a cistella

Prescindint del tauler

Efecte del tauler

Components tangencial i normal de l'acceleració

Moviment curvilini

Suposem que el moviment té lloc en el pla XY. Hi situem un origen i uns eixos, i representem la trajectòria del mòbil, és a dir, el conjunt de punts pels quals passa el mòbil. Les magnituds que descriuen un moviment curvilini són les següents.

Vector posició r en un instant t

Com que la posició del mòbil canvia amb el temps, en l'instant t el mòbil es troba en el punt P o, en altres paraules, el seu vector de posició és r i en l'instant t' es troba en el punt P' i la seua posició ve donada pel vector r'. Direm que el mòbil s'ha desplaçat Dr = r’ - r en l'interval de temps Dt = t' - t. Aquest vector té la direcció de la secant que uneix els punts P i P'.

Vector velocitat

El vector velocitat mitjana es defineix com el quocient entre el vector desplaçament Dr i el temps que ha emprat en desplaçar-se, Dt, El vector velocitat mitjana té la mateixa direcció que el vector desplaçament, la secant que uneix els punts P i P1 quan es calcula la velocitat mitjana <v1> entre els instants t i t1.

El vector velocitat en un instant és el límit del vector velocitat mitjana quan l'interval de temps tendeix a zero, Com podem veure en la figura, a mesura que fem tendir l'interval de temps a zero la direcció del vector velocitat mitjana, la recta secant que uneix successivament els punts P amb els punts P1, P2... tendeix cap a la tangent a la trajectòria en el punt P. En l'instant t el mòbil es troba en P i té una velocitat v la direcció de la qual és tangent a la trajectòria en aquest punt.

Vector acceleració

En l'instant t el mòbil es troba en P i té una velocitat v la direcció de la qual és tangent a la trajectòria en aquest punt. En l'instant t' el mòbil es troba en el punt P' i té una velocitat v'. El mòbil ha canviat, en general, la seua velocitat, tant en mòdul com en direcció, en la quantitat donada pel vector diferència, Dv = v’ - v.

Es defineix l'acceleració mitjana com el quocient entre el vector canvi de velocitat Dv i l'interval de temps Dt = t' - t en el qual té lloc aquest canvi,

I l'acceleració a en un instant,

Resumient, les equacions del moviment curvilini en el pla XY són

La primera fila correspon a las equacions d'un moviment rectilini al llarg de l'eix X, la segona fila correspon a les equacions d'un moviment rectilini al llarg de l'eix Y, i el mateix podem dir respecte de l'eix Z.

Per tant, podem considerar un moviment curvilini com la composició de moviments rectilinis al llarg dels eixos de coordenades.

Exemple 1

Un automòbil descriu una corba plana tal que les seues coordenades rectangulars en funció del temps estan donades per las expressions: x = 2t³- 3t², y = t² - 2t + 1 m. Calculeu:

• Les components de la velocitat en qualsevol instant.

v_x = 6t² - 6t m/s
v_y = 2t - 2 m/s

• Les components de l'acceleració en qualsevol instant.

a_x = 12t m/s²
a_y = 2 m/s²

Exemple 2

Un punt es mou en el plano de forma tal que les components rectangulars de la velocitat en funció del temps vénen donades per les expressions: v_x = 4t³+ 4t, v_y = 4t m/s. Si en l'instant inicial t₀ = 0 s el mòbil es trobava en la posició x₀ = 1, y₀ = 2 m, calculeu:

• Les components de l'acceleració en qualsevol instant.

• Les coordenades x i y del mòbil en funció del temps.

Donada la velocitat v_x= 4t³+ 4t del mòbil, el desplaçament x - 1 entre els instants 0 i t es calcula mitjançant la integral

x = t⁴+ 2t²+1 m

Donada la velocitat v_y= 4t del mòbil, el desplaçament y - 2 entre els instants 0 i t es calcula mitjançant la integral

y = 2t²+ 2 m

Exemple 3

Es llança una pilota verticalment cap amunt amb una velocitat de 20 m/s des del terrat d'un edifici de 50 m d'altura. La pilota és, a més a més, empenyida pel vent, i produeix un moviment horitzontal amb una acceleració de 2 m/s². Calculeu:

• La distància horitzontal entre el punt de llançament i el d'impacte.

• L'altura màxima.

•  Els instants i els valors de les components de la velocitat quan la pilota es troba a 60 m d'altura sobre el terra.

Primer s'estableix l'origen en el punt del llançament i els eixos X i Y apuntant cap amunt. Es determinen els signes de les velocitats inicials v0x = 0 i v0y = 20 i de l'acceleració ay = -10. S'escriuen les equacions del moviment.

• Moviment uniformement accelerat al llarg de l'eix X:

a_x = 2
v_x = 2t
x = 2t²/2

• Moviment uniformement accelerat al llarg de l'eix y (moviment de caiguda dels cossos):

a_y = -10
v_y = 20 + (-10)t
y = 20t + (-10)t²/2

1. El punt d'impacte té de coordenades x desconeguda i y = -50 m. Donada y s'obté el valor de t i després el valor de x.

y = -50 m
t = 1.74 s
x = 3.03 m

2. L'altura màxima s'obté quan la velocitat vertical és zero:

v_y = 0 m/s
t = 2 s
y = 20 m

L'altura des del terra és 20 + 50 = 70 m.

3. El mòbil es troba en dos instants a 60 m d'altura sobre el terra (10 m sobre l'origen), ja que la seua trajectòria talla en dos punts a la recta horitzontal y = 10 m. L'equació de segon grau té dues arrels,

10 = 20t + (-10)t²/2
t₁ = 0.59 s i t₂ = 3.41 s.

Components tangencial i normal de l'acceleració

Les components rectangulars de l'acceleració no tenen significat físic, però sí que el tenen les components de l'acceleració en un nou sistema de referència format per la tangent a la trajectòria i la normal a la trajectòria.

Trobar les components tangencial i normal de l'acceleració en un determinat instant és un problema simple de geometria, com es veu en la figura.

• Es dibuixen els eixos horitzontal X i vertical Y.

• Es calculen les components rectangulars de la velocitat i de l'acceleració en aquest instant. Es representen els vectors velocitat i acceleració en aquest sistema de referància.

• Es dibuixen els nous eixos, la direcció tangencial és la mateixa que la direcció de la velocitat, la direcció normal és perpendicular a la direcció tangencial.

• Amb el regle i el cartabó es projecta el vector acceleració sobre la direcció tangencial i sobre la direcció normal.

• Es determina l'angle q entre el vector velocitat i el vector acceleració, i es calcula el valor numèric d'aquestes components: a_t =a·cosq  i  a_n= a·sinq

Exemple

El vector velocitat del moviment d'una partícula ve donat per v = (3t - 2) i + (6t² - 5) j m/s. Calculeu les components tangencial i normal de l'acceleració en l'instant t = 2 s. Dibuixeu el vector velocitat, el vector acceleració i les components tangencial i normal en aquest instant.

1. Donades les components de la velocitat obtenim les components de l'acceleració.

v_x = 3t - 2 m/s,   a_x = 3 m/s²
v_y = 6t²-5 m/s,  a_y = 12t m/s²

2. Els valores d'aquestes components en l'instant t = 2 s són:

v_x = 4 m/s,   a_x = 3 m/s²
v_y = 19 m/s,  a_y = 24 m/s²

3. Dibuixem el vector velocitat i el vector acceleració

4. Calculem l'angle q que formen el vector velocitat i el vector acceleració:

• Pel producte escalar: v·a = v·a·cosq
• Calculant l'angle que forma cada vector amb l'eix X, i restant els dos angles.

5. Es calculen les components tangencial i normal de l'acceleració:

a_t = a·cosq = 24.1 m/s²
a_n = a·sinq = 2.0 m/s²

Podem trobar l'acceleració tangencial en qualsevol instant a partir del producte escalar del vector acceleració a i el vector velocitat v,

v·a = va·cosθ = v·a_t

L'acceleració normal s'obté a partir del mòdul de l'acceleració a i de l'acceleració tangencial a_t,

Radi de curvatura

En la figura es mostra el radi de curvatura i el centre de curvatura d'una trajectòria qualsevol en l'instant t. Es dibuixa la direcció del vector velocitat v en l'instant t, i la direcció del vector velocitat v+dv en l'instant t+dt. Es tracen rectes perpendiculars a les dues direccions, que es troben en el punt C anomenat centre de curvatura. La distància entre la posició del mòbil en l'instant t i el centre de curvatura C és el radi de curvatura ρ.

En l'interval de temps comprés entre t i t+dt la direcció del vector velocitat canvia un angle dθ, que és l'angle entre les tangents o entre les normals. El mòbil es desplaça en aquest interval de temps un arc ds = ρ·dθ, com s'aprecia en la figura.

Una altra forma d'obtenir les components tangencial i normal de l'acceleració és la d'escriure el vector velocitat v com el producte del seu mòdul v per un vector unitari que tinga la mateixa direcció i sentit u_t = v/v. La derivada d'un producte es compon de la suma de dos termes,

El primer terme té la direcció de la velocitat o del vector unitario u_t, i és la component tangencial de l'acceleració.

El segon terme anem a demostrar que té la direcció normal un. Com veiem en la figura, les components del vector unitario ut són ut = cosθ·i + sinθ·j

La seua derivada és

El vector acceleració és

Les components tangencial i normal de l'acceleració valen, respectivament,

Aquesta última fórmula la vam obtenir d'una forma més simple per a una partícula que descriu un moviment circular uniforme.

Com que la velocitat és un vector, i un vector té mòdul i direcció, hi haurà acceleració sempre que canvie amb el temps el mòdul de la velocitat, o la direcció de la velocitat, o les dues coses al mateix temps.

• Si solament canvia el mòdul de la velocitat amb el temps, com en un moviment rectilini, tenim únicament acceleració tangencial.
• Si solament canvia la direcció de la velocitat amb el temps, pero el seu mòdul roman constant, com en un moviment circular uniforme, tenim únicament acceleració normal.
• Si canvia el mòdul i la direcció de la velocitat amb el temps, com en un tir parabòlic, tindrem acceleració tangencial i acceleració normal.