Cinemàtica

Moviment curvilini

Magnituds cinemàtiques

Moviment sota
l'acceleració constant
de la gravetat

Composició de
moviments

Dispar d'un projectil
contra un blanc mòbil

Tir parabòlic i moviment circular

Apuntar un canó per a
fer diana sobre un blanc fix

Bombardejar un blanc
mòbil des d'un avió

Tirs a cistella

Prescindint del tauler

Efecte del tauler

Angles de dispar

Activitats 

Referències

En aquesta pàgina es descriu un problema d'artilleria que no té una solució senzilla.

Un canó dispara un projectil amb velocitat v i un angle θ amb l'horitzontal. Un carro de combat situat a una distància d del canó en el moment del dispar, es mou amb velocitat constant u cap al canó. Es tractarà de determinar l'angle (o els angles) de dispar que fan que el projectil impacte en el carro de combat.

Descripció

El projectil es mou sota l'acceleració constant de la gravetat; el moviment es pot considerar com la composició de dos moviments:

• Uniforme al llarg de l'eix horitzontal X

a_x= 0
v_x= v·cosθ
x = v·cosθ·t

• Uniformement accelerat al llarg de l'eix vertical Y

a_y= 0
v_y = v·sinθ - g·t
y = v·sinθ·t - gt²/2

El moviment del carro de combat és rectilini i uniforme. La seua posició x en funció del temps és

x = d - u·t

L'impacte del projectil sobre el carro de combat es produeix per a y = 0, és a dir, en l'instant t = 2·v·senθ/g

En aquest instant han de coincidir les posicions x dels dos mòbils:

Es poden donar tres casos, depenent de quines siguen les dades i les incògnites:

1. Es coneix la separació inicial d, l'angle de tir θ i la velocitat de dispar v. Calculeu la velocitat u del carro de combat.

2. Es coneix la separació inicial d, l'angle de tir θ i la velocitat u del carro de combat. Calculeu la velocitat de dispar v.

3. El cas més interessant és quan es coneix la separació inicial d, la velocitat de dispar v i la velocitat u del carro de combat, i es demana calcular l'angle (o els angles) de tir θ.

Angles de dispar

Hem de trobar les arrels de l'equació transcendent:

v²·sin(2θ) + 2u·v·sinθ - d·g = 0

Hi ha diversos procediments, el més simple és traçar la gràfica de la funció z = f(θ)

z = v²·sin(2θ) + 2u·v·sinθ - d·g

i determinar, aproximadament, els punts de tall de la funció amb l'eix horitzontal, com s'aprecia en la figura.

El màxim de la funció z es produeix quan

per a un angle θ_m que és independent de la distància d,

Els dos angles buscats, θ₁ i θ₂, estan en els intervals (0, θ_m) i (θ_m, π/2), respectivament. Podem emprar un procediment com el del punt mitjà per a calcular cadascuna de les arrels de l'equació transcendent.

Hi ha una distància d_m per a la qual l'equació transcendent té una sola arrel, θ_m. El màxim de la funció f(θ_m) és z = 0,

Si la distància d entre el canó i el carro de combat és major que d_m no hi ha cap angle per al qual es puga produir impacte, l'equació trasncendent no té arrels, com es pot veure en la figura.

Activitats

• La velocitat v de dispar del projectil s'ha fixat en 100 m/s.
• La distància horitzontal d entre el canó i el carro de combat en el moment del dispar s'ha fixat en 1000 m.
• El programa interactiu genera un nombre aleatori, comprés entre 0 i 50, que representa la velocitat u del carro de combat. cada vegada que es pitja el botó Nou.
• S'estableix l'angle de dispar movent el dit de la barra de desplaçament o introduint un angle en graus en el control d'edició Angle.

Es pitja el botó Comença.

Observem el moviment del carro de combat des de la posició inicial, x = 1000 m, cap a l'origen, on s'hi troba el canó.

• Es canvia l'angle de tir i es pitja el botó Comença.
• S'assatja amb diversos angles de dispar fins fer blanc.

Es completa una taula de valors de z en funció de l'angle de dispar θ i es dibuixa en un paper la funció

z = v²·sin(2θ) + 2u·v·sinθ - d·g

on:

• a velocitat de dispar és v = 100 m/s,
• la velocitat u del carro de combat és el valor subministrat pel programa, en la part dreta de la miniaplicació (applet),
• la distància inicial entre el canó i el carro de combat és  d = 1000 m,
• g = 9.8 m/s².

Es comprova que les arrels de l'equació transcendent són aproximadament iguals als angles de dispar obtinguts pel procediment d'assaig i error.

Exemple

Per a una velocitat u =20.0 m/s del carro de combat el màxim de la funció f(θ) es produeix per a

Els angles de dispar que produeixen impacte en el carro de combat estan compresos entre (0, 48.8º) i (48.8º, 90º) i són θ₁ = 26.6º i θ₂ = 71.5º, com es pot veure en la primera representació gràfica.