Cinemàtica

Moviment curvilini

Magnituds cinemàtiques

Moviment sota
l'acceleració constant
de la gravetat

Composició de
moviments

Dispar d'un projectil
contra un blanc mòbil

Tir parabòlic i 
moviment circular

Apuntar un canó per a
fer diana en un blanc fix

Bombardejar un blanc
mòbil des d'un avió

Tirs a cistella

Prescindint del tauler

Efecte del tauler

Abast màxim

Altura màxima

Equació de l'envolvent

Activitats

Referències

Descripció

Un paraigües de radi R està mullat i gira al voltant del seu eix fix amb velocitat angular ω, en el pla vertical. Les gotes d'aigua es dispersen des dels extrems de les varetes amb la mateixa velocitat v₀ = ωR però amb direcció diferent. El vector velocitat inicial té una direcció tangent a la circumferència, com es mostra en la figura.

La gota d'aigua situada en la posició x0= R·cosθ y0 = R·sinθ es desprén de l'extrem de la vareta amb una velocitat inicial v0 = ωR i formant un angle α = θ + π/2 amb l'horitzontal.

La posició de la gota d'aigua en funció del temps és:

x = x₀+ v₀·cosα·t
y = y₀ + v₀·sinα·t - gt²/2

o bé,

x = R·cosθ - v₀·sinθ·t
y = R·sinθ + v₀·cosθ·t - gt²/2

Abast màxim

Si el terra està a una distància h per sota l'origen, l'abast d'una gota que ix de la posició θ es calcula posant en les equacions del moviment y = -h,

x = R·cosθ - v₀·sinθ·t
-h = R·sinθ + v₀·cosθ·t - gt²/2

Conegut l'angle θ calculem el temps de vol t en la segona equació i el substituim en la primera per a calcular l'abast x.

La nostra tasca serà determinar la posició inicial, o l'angle θ_m, de la gota o de les gotes que arriben més lluny. Com veiem en la figura, hi ha dos angles per als quals l'abast és màxim i igual a x_m,

L'abast x és una funció del temps de vol t i de l'angle θ en la primera equació, i el temps de vol t és una funció de l'angle θ en la segona equació. No pareix a primera vista una tasca senzilla expressar x en funció de l'angle θ, i aïlar θ en l'equació que ens dóna la condició d'extrem, dx/dθ = 0. Calcularem els angles θ_m seguint el procediment descrit en l'article esmentat en les referències.

Expressem les equacions del tir parabòlic en forma vectorial

r(t) = r₀ + v₀·t + gt²/2

on

r = xi + yj,
r₀ = R·cosθ·i + R·sinθ·j, 
v₀ = -v₀sinθ·i + v₀cosθ·j
g = -g·j

Dibuixem els tres vectors, r₀,v₀·t, gt²/2 i el vector suma r, com mostra la part esquerra de la figura. En la part dreta observem dos triangles rectangles OAB i OBC amb la hipotenusa OB comúna; es complirà que

D'aquesta manera podem expressar x tan sols en funció del temps t,

L'extrem (màxim) de x es calcula derivant x respecte de t,

L'abast x_m per a l'instant t_m és

Calculem l'angle θ_m de la gota el punt d'impacte de la qual és (-x_m,h). Com veiem en la part dreta de la figura, θ_m= π - α - β,

Calculem l'angle θ_m de la gota el punt d'impacte de la qual és (x_m,h).

Com veiem en la part dreta de la figura, θ_m = 2π - (α - β) = 2π - α + β,

Altura màxima

La gota que es llança en la posició θ = 0 es mou verticalment cap amunt,

v_y = v₀ - gt
y = v₀·t - gt²/2

i arriba a una altura màxima y quan v_y= 0, el valor de la qual és

Hi ha altres gotes que arriben a una altura major, la que arriba a l'altura màxima ix de la posició angular θ_m, que anem a calcular.

La component vertical de la velocitat de la gota que ix de la posició angular θ és

v_y= v₀·cosθ - gt
y = R·sinθ + v₀·cosθ·t - gt²/2

S'arriba a la màxima altura quan v_y = 0, i el seu valor és

L'angle θ per al qual y és un extrem s'obté de dy/dθ = 0,

Una solució és cosθ = 0, amb θ = π/2, que és quan la gota ix horitzontalment. La solució buscada és

L'altura màxima a la qual arriba la gota que ix d'aquesta posició és

i la seua abscissa és x_m = 0, com veiem en la figura de més avall.

Equació de l'envolvent

Com veiem en la figura, l'envolvent (en color blau) és una paràbola simètrica respecto de l'eix y; la seua equació és y = ax²+ b. Calculem a i b sabent que la paràbola passa pel punt (0, y_m) i pel punt (x_m,-h). Tenim un sistema de dues equacions amb dues incògnites,

L'equació de l'envolvent, per al cas , és la paràbola

Activitats

S'introdueix:

• La velocitat angular de rotació ω, en rad/s, movent el dit de la barra de desplaçament Velocitat angular.

• El radi del paraigües s'ha fixat en el programa interactiu en el valor R =1 m.

Es pitja el botó Comença.

S'observa el moviment de les gotes situades en els extrems de les varetes del paraigües en les posicions: 0º, 30º, 60º, 90º, 120º, 150º, 180º, 210º, 240º, 270, 300º, i 330º.

Coneguda l'altura h del paraigües sobre el terra, el lector pot calcular els abasts i el temps de vol de les gotes situades en algunes d'aquestes posicions i, en especial, les situades en θ = 90º i θ = 270º.

Exemple

Sig ω = 9.04 rad/s i, per tant, v₀ = 9.04 m/s, i siga h = 8 m l'altura de l'eix del paraigües sobre el terra.

• Considerem la gota situada en la posició θ = 60º.

La posició de la gota en funció del temps serà

x = 1.0·cos60º - 9.04·sin60º·t
y = 1.0·sin60º + 9.04·cos60º·t - 9.8·t²/2

Arriba al terra, y = -8 m, en l'instant t = 1.88 s i la seua distància a l'origen serà x = -14.24 m.

• Calculem l'abast màxim,

El temps que tarda en arribar al terra és

Per a les dues gotes que ixen de les posicions angulars

el seu abast és màxim.

• La gota que ix de la posició angular

arriba a l'altura màxima y_m

Per a comparar els càlculs fets amb els proporcionats pel programa interactiu es fa ús dels botons Pausa/Continua, i Pas per a parar la partícula en el moment que arriba al terra.