Cinemàtica

Moviment curvilini

Magnituds cinemàtiques

Moviment sota 
l'acceleració constant
  de la gravetat

Composició de
moviments

Tir d'un projectil
contra un blanc mòbil

Tir parabòlic
i moviment circular

Apuntar un canó per a
fer diana
sobre un blanc fix

Bombardejar un blanc
mòbil des d'un avió

Tirs a cistella

Prescindint del tauler

Efecte del tauler

Activitats

Abast horitzontal i altura màxima

En aquest programa s'estudia un cas particular de moviment curvilini, el tir parabòlic, que és la composició de dos moviments:

• Uniforme al llarg de l'eix X.
• Uniformement accelerat al llarg de l'eix vertical Y.

 Per a resoldre un problema de tir parabòlic és necessari seguir les passes següents:

1.-Establiu el sistema de referència, és a dir, l'origen i els eixos horitzontal X i vertical Y

2.-Determineu el valor i el signe de l'acceleració vertical.

3.-Les components de la velocitat inicial (inclós el signe).

4.-La posició inicial.

5.-Escriviu les equacions del moviment.

6.-A partir de les dades trobeu les incògnites.

Descripció

En la figura tenim un projectil que s'ha disparat amb una velocitat inicial v0 i amb un angle q amb l'horitzontal; les components de la velocitat inicial són Com que el tir parabòlic és la composició de dos moviments: moviment rectilini i uniforme al llarg de l'eix X, uniformemente accelerat al llarg de l'eix Y,

les equacions del moviment d'un projectil sota l'acceleració constant de la gravetat són:

Eliminat el temps en les equacions que ens donen les posicions x i y obtenim l'equació de la trajectòria, que té la forma y = ax² + bx+ c, que representa una paràbola.

Obtenim l'altura màxima quan la component vertical de la velocitat v_y és zero; l'abats horitzontal x, quan el cos retorna al terra, y = 0.

Activitats

Resolgueu numèricament els problemes següents i comproveu la solució amb el programa interactiu.

1.-Un avió en vol horitzontal a una altura de 300 m i amb una velocitat de 60 m/s, deixa caure una bomba. Calculeu el temps que tarda en arribar al terra i el desplaçament horitzontal de la bomba.

2.-Es llança un cos des de l'origen amb una velocitat horitzontal de 40 m/s i amb una velocitat vertical i cap a dalt de 60 m/s. Calculeu la màxima altura i l'abast horitzontal.

3.-Resolgueu l'exercici anterior prenent com a lloc de llançament el cim d'un pujol de 50 m d'altura.

4.-Es llança un projectil des d'un pujol de 300 m d'altura amb una velocitat horitzontal de 50 m/s i una velocitat vertical de -10 m/s (cap a baix). Calculeu l'abast horitzontal i la velocitat amb què arriba al terra.

5.-Un canó dispara una bala des de l'alt d'un penya-segat de 200 m d'altura amb una velocitat de 46 m/s i amb un angle de 30º per damunt de l'horitzontal. Calculeu l'abast, el temps de vol i les components de la velocitat de la bala al nivell del mar. Trobeu també l'altura màxima. (Trobeu primer les components horitzontal i vertical de la velocitat inicial).

S'introdueix en els controls d'edició:

• l'altura inicial y₀,
• la component v_x de la velocitat inicial,
• la componente v_y de la velocitat inicial.

Es pitja el botó Comença i s'observa el moviment de la partícula i la trajectòria que descriu. En la parte superior de la miniaplicació (applet)  es mostren els valors de la posició x, y, i de la velocitat v_x i v_y, segons transcorre el temps t.

Pots detenir el moviment en qualsevol moment pitjant en el botó Pausa, o es pot observar el moviment pas a pas pitjant repetidament en el botó Pas. Per a reanudar el moviment es pitja en el botó Continua, que és el mateix que el botó Pausa.

Per exemple, quan el mòbil estiga a punt d'arribar a l'altura màxima es pitja el botó Pausa i, després, diverses vegades el botó Pas fins que arriba a aquesta altura (observeu que la velocitat vertical v_y és zero). Després es pitja en el botó Continua perquè es reanude el moviment. Quan estiga a punt de regressar a l'origen es pitja el botó Pausa i, després, repetidament el botó Pas fins que la y es faça zero. Finalment, es pitja Continua fins que desapareix el mòbil de la finestra de la miniaplicació (applet).

Abast horitzontal i altura màxima

En la miniaplicació (applet) es tracen les trajectòries de projectils disparats amb la mateixa velocitat inicial v₀ però amb els angles de tir següents: q = 10º, 20º, 30º, 40º, 45º, 50º, 60º, 70º, 80º, 90º.

Les equacions del moviment dels projectils són

x = v₀·cosq ·t
y = v₀·sinq·t - g·t²/2

L'abast horitzontal de cadascun dels projectils s'obté per a y = 0,

El valor màxim s'obté per a q = 45º i té el mateix valor per a q = 45 + a que per a q = 45 - a. Per exemple, tenen el mateix abast els projectils disparats amb angles de tir de 40º i 60º, perquè sin(2·40) = sin(2·60).

L'altura màxima a què arriba un projectil s'obté amb v_y = 0,

El valor màxim s'obté per a l'angle de tir q = 90º.

L'envolvent de totes les trajectòries descrites pels projectils per a angles de tir compresos entre 0 i 180º s'anomena paràbola de seguritat,

Aquesta denominació fa referència al fet que fora d'aquesta paràbola estem fora de perill dels projectils disparats amb velocitat v₀.

Es tracta de la paràbola simètrica respecte de l'eix y i d'equació y = -ax²+ b, que passa pels punts (x = v₀²/g, y = 0), i (x = 0, y = v₀²/(2g)), com es veu en la figura.

L'equació de la paràbola és

Activitats

S'introdueix la velocitat inicial dels projectils en el control d'edició Velocitat inicial.

Es pitja el botó Comença.

Es representen les trajectòries que siguen els projectils disparats amb un angle de tir q = 10º, 20º, 30º, 40º, 45º, 50º, 60º, 70º, 80º, 90º.

En la part superior dreta de la miniaplicació (applet) es mostra l'abast de cadascun dels projectils.

El lector pot calcular l'abast, l'altura màxima i el temps de vol d'un projectil per a alguns dels angles de tir especificats i, en especial, el que correspon a 45º,  i comparar els resultats amb els proporcionats pel programa interactiu.