Cinemàtica

Moviment rectilini

Moviment rectilini

Moviment de caiguda
dels cossos

Regressió lineal

Moviment rectilini
uniforme

Moviment rectilini
u. accelerat

Moviment rectilini uniformement accelerat

Moviment rectilini

S'anomena moviment rectilini tot moviment la trayectoria del qual és una línia recta.

En la recta situem un origen O on estarà un observador que mesurarà la posició del mòbil x en l'instant t. Les posicions seran positives si el mòbil està a la dreta de l'origen i negatives si està a l'esquerra de l'origen.

Posició

La posició x del mòbil es pot relacionar amb el temps t mitjançant una funció x = f(t).

Desplaçament

Suposem ara que en el temps t el mòbil es troba en la posició x; més tard, en l'instant t', el mòbil es trobarà en la posició x'. Diem que el mòbil s'ha desplaçat Dx = x' - x en l'interval de temps Dt = t' - t, mesurat des de l'instant t a l'instant t'.

Velocitat

La velocitat mitjana entre els instants t i t' està definida per

Per a determinar la velocitat en l'instant t hem de fer l'interval de temps Dt tan petit com siga possible; en el límit quan Dt tendeix a zero,

Però aquest límit és la definició de derivada de x respecte del temps t.

Per a comprendre millor el concepto de velocitat mitjana resoldrem l'exercici següent.

Exercici

Una partícula es mou al llarg de l'eix X de manera que la seua posició en qualsevol instant t està donada per x = 5·t² + 1, on x s'expressa en metres i t en segons.

Calculeu la seua velocitat mitjana en l'interval de temps entre:

•  2 i 3 s.

•  2 i 2.1 s.

•  2 i 2.01 s.

•  2 i 2.001 s.

•  2 i 2.0001 s.

•  Calculeu la velocitat en el instant t = 2 s.

Com podem apreciar en la taula, quan l'interval Δt→0 la velocitat mitjana tendeix a 20 m/s. La velocitat en l'instant t = 2 s és una velocitat mitjana calculada en un interval de temps que tendeix a zero.

Calculem la velocitat en qualsevol instant t

• La posició del mòbil en l'instant t és x = 5·t² + 1

• La posició del mòbil en l'instant t + Dt és x' = 5(t+Dt)² + 1 = 5t² + 10tDt + 5Dt² + 1

• El desplaçament és Dx = x' - x = 10tDt + 5Dt²

• La velocitat mitjana <v> és

La velocitat en l'instant t és el límit de la velocitat mitjana quan l'interval de temps tendeix a zero,

La velocitat en un instant t es pot calcular directament fent la derivada de la posició x respecte del temps,

En l'instant t = 2 s, v = 20 m/s.

Acceleració

En general, la velocitat d'un cos és una funció del temps. Suposem que en un instant t la velocitat del mòbil és v, i en l'instant t' la velocitat del mòbil és v'. S'anomena acceleració mitjana entre els instants t i t' al quocient entre el canvi de velocitat Dv = v' - v i l'interval de temps durant el qual s'ha fet aquest canvi, Dt = t' - t,

L'acceleració en l'instant t és el límit de l'acceleració mitjana quan l'interval Dt tendeix a zero, que és la definició de la derivada de v respecte del temps,

Exemple

Un cos es mou al llarg d'una línia recta, x = 2t³ - 4t² + 5 m. Trobeu l'expressió de

• La velocitat

• L'acceleració del mòbil en funció del temps

Donada la velocitat del mòbil trobeu-ne el desplaçament

Si coneixem un registre de la velocitat podem calcular el desplaçament x - x₀ del mòbil entre els instants t₀ i t mitjançant la integral definida

El producte v·dt representa el desplaçament del mòbil entre els instants t i t+dt, o en l'interval dt. El desplaçament total és la suma dels infinits desplaçaments infinitesimals entre els instants t₀ i t.

En la figura es mostra una gràfica de la velocitat en funció del temps; l'àrea en color blau mesura el desplaçament total del mòbil entre els instants t0 i t, el segment en color blau marcat en la trajectòria recta. Trobem la posició x del mòbil en l'instant t sumant la posició inicial x0 al desplaçament calculat mitjançant la mesura de l'àrea sota la corba v-t o mitjançant el càlcul de la integral definida de la fórmula anterior.

Exemple

Un cos es mou al llarg d'una línia recta d'acord amb la llei v = t³ - 4t²+ 5 m/s. Si en l'instant t₀ = 2 s està situat en x₀ = 4 m de l'origen, calculeu la posició x del mòbil en qualsevol instant.

Donada l'acceleració del mòbil trobeu el canvi de velocitat

De la mateixa manera que hem calculat el desplaçament del mòbil entre els instants t₀ i t a partir d'un registre de la velocitat v en funció del temps t, podem calcular el canvi de velocitat v - v₀ que experimenta el mòbil entre aquestos instants a partir d'un registre de l'acceleració en funció del temps,

En la figura,  el canvi de velocitat v - v0 és l'àrea sota la corba a-t, o el valor numèric de la integral definida de la fórmula anterior. Coneixent el canvi de velocitat v - v0, i el valor inicial v0 en l'instant t0, podem calcular la velocitat v en l'instant t.

Exemple

L'acceleració d'un cos que es mou al llarg d'una línia recta ve donada per l'expressió a = 4 - t² m/s². Sabent que en l'instant t₀ = 3 s la velocitat del mòbil val v₀ = 2 m/s, determinau l'expressió de la velocitat del mòbil en qualsevol instant.

Resumint, les fórmules emprades per a resoldre problemes de moviment rectilini són

Moviment rectilini uniforme

Un moviment rectilini uniforme és aquell que té una velocitat constant; per tant, l'acceleració és zero. La posició x del mòbil en l'instant t la podem calcular integrant o gràficament, en la representació de v en funció de t.

Habitualment, l'instant inicial t₀ es pren com a zero, per la qual cosa les equacions del moviment uniforme resulten

Moviment rectilini uniformement accelerat

	Un moviment uniformement accelerat és aquél cuya aceleració és constant. Dada la aceleració podemos obtener el cambio de velocitat v-v0 entre los instants t0 i t, mitjanante integració, o gráficament.
	Donada la velocitat en funció del temps, obtenim el desplaçament x - x0 del mòbil entre els instants t0 i t bé gràficament (àrea d'un rectangle + àrea d'un triangle), o bé integrant

Habitualment, l'instant inicial t₀ es pren com a zero, i les fórmules del moviment rectilini uniformement accelerat queden de la forma següent.

Aïllant el temps t en la segona equació i substituint-la en la tercera, relacionem la velocitat v amb el desplaçament x - x₀