Cinemàtica

Moviment rectilini

Moviment rectilini

Moviment de caiguda
dels cossos

Regressió lineal

Moviment rectilini
uniforme

Moviment rectilini
u. accelerat

En aquesta pàgina es descriu el procediment d'ajust de les dades experimentals a una línia recta, anomenat regressió lineal, que s'usa en el laboratori en diverses situacions:

• Per a calcular la velocidad en una experiència de moviment rectilini.
• Per a calcular la constant elàstica d'una molla, col·locant pesos en un platet que penja de l'extrem lliure i mesurant la deformació de la molla.
• etc.

El programa interactiu del final d'aquesta pàgina està dissenyat per tal que siga usat en el Laboratori de Física per a qualsevol experiència que ho requerisca. Ens proporciona els valors de:

• el pendent, a, de la recta de regressió i l'error comés, Da.
• L'ordenada en l'origen, b.
• L'índex de correlació, r. Aquest índex mesura el grau d'ajust de les dades experimentals a la recta.

Descripció

Suposem que estem mesurant la posició de un mòbil en funció del temps en un moviment rectilini. Si el mòbil està lliure de forces esperem que la relació entre la posició del mòbil i el temps siga lineal, x = x₀+v·t, on x₀ és la posició del mòbil en l'instant t = 0.

Si mesurem les posicions del mòbil, x₁ i x₂, en els instants t₁ i t₂, obtenim un sistema de dues equacions amb dues incògnites de les que podem determinar les quantitats desconegudes x₀ i v. Ara bé, aquesta afirmació tan sols és certa en un experiment ideal lliure d'errors.

Si fem n mesures de la posición del mòbil l'aspecte de la representació gràfica de les mesures pot ser paregut al de la figura quehi ha més avall: els punts de color blau representen les dades experimentals. La relació entre les ordenades y i les abscisses x d'aquestos punts és tan sols aproximada degut als errors de cadascuna de les mesures.

Si prenem únicament dos punts per a definir la recta, el resultado tindria un error important. Per a una millor estimació de la recta i, per tant, de les magnituds buscades, s'hauran d'utilitzar les n mesures preses.

Suposem una magnitud física y relacionada amb una altra x mitjançant la funció y = ax+b, una recta de pendent a, l'ordenada en l'origen de la qual és b. Les desviacions e dels valors de y, vegeu la figura, seran

• e₁ = y₁ - (ax₁+b)
• e₂ = y₂ - (ax₂+b)
• ...................
• e_i = y_i - (ax_i+b)
• ...................
• e_n = y_n - (ax_n+ b)

Siga E(a,b) la suma dels quadrats de totes aquestes desviacions

E(a,b) = (y₁ - ax₁ - b)²+ (y₂ - ax₂ - b)²+ ... + (y_i - ax_i - b)² + ...+ (y_n - ax_n - b)²

Els valors que minimitzen E(a,b) són aquells per als quals

S'obté així un sistema de dues equacions amb dues incògnites a i b, la solució del qua és

Expressions més elaborades ens permeten determinar l'error de a, Da, i l'error de b,  Db,

El pendent de la recta s'escriurà a ± Da, i l'ordenada en l'origen, b ± Db (vegeu les regles per a expressar una mesura d'una magnitud i el seu error.

El coeficient de correlació és un altre paràmetre per a l'estudi d'una distribució bidimensional que ens indica el grau de dependència entre les variables X i Y. El coeficient de correlació r és un nombre que s'obté mitjançant la fórmula

El coeficient de correlació pot ser qualsevol nombre comprés entre -1 i +1:

• quan r = 1, la correlació lineal és perfecta, directa;
• quan r = -1, la correlació lineal és perfecta, inversa;
• quan r = 0, no hi ha cap correlació; hi ha una independència total dels valors X i Y.