Cinemàtica

Moviment relatiu

Moviment relatiu de
 traslació uniforme

Moviment relatiu de
rotació uniforme

Acceleració centrífuga
i de Coriolis

Exemple 2

Exemple 3

Comparació dels temps de viatge

Activitats

Quan s'introdueix en classe el moviment relatiu es comença el tema resolent problemes senzills i intuïtius per al plantejament dels quals no es requereix una explicació detallada del concepte de velocitat relativa.

Exemple 1

Un riu flueix cap a l'est amb una velocitat c = 3 m/s. Un bot es dirigeix cap a l'est (aigües avall) amb velocitat relativa a l'aigua de v = 4 m/s.

• Calculeu la velocitat del bot respecte de terra quan el bot es dirigeix cap a l'est (riu avall) i quan es dirigeix cap a l'oest (riu amunt).
• Calculeu el temps que tarda el bot en desplaçar-se d = 100 m fins al punt P i regressar de nou al punt de partida O.

Quan el bot navega aigües avall la velocitat del bot respect de terra és c+v, és a dir, de 7 m/s.   Quan el bot navega en sentit contrari al corrent la velocitat del bot respecte de terra és c-v, és a dir, de -1 m/s.

• El temps que tarda el barquer en fer el viatge d'anada és t₁= d/(v+c)
• El temps que tarda en fer el viatge de tornada és t₂=d/(v-c)

El temps total és

Amb les dades del problema, t = 800/7 = 114.3 s.

Exemple 2

Ara farem que el bot travesse el riu i torne al punt de partida.

Un riu flueix cap a l'est amb velocitat c = 3 m/s. El bot es mou en aigua quieta amb una velocitat de v = 4 m/s.

• Com s'ha de dirigir el bot per tal que arribe a un punt P situat en la riba oposada i en front de O?

• Calculeu la velocitat V del bot respecte de terra.
• Calculeu el temps que tarda el bot en desplaçar-se d = 100 m fins el punt P i regressar de nou al punt de partida O.

El vector velocitat V del vaixell respecte de terra ha d'apuntar cap al nord.

El resultat de la suma V = v + c és 

Vj = (v·cosθ i + v·sinθ j) + ci

o bé,

0 = c + v·cosθ
V = v·sinθ

• L'angle θ es calcula a partir de la primera equació, cosθ = -c/v.

• La velocitat del vaixell respecte de terra V es calcula a partir de la segona equació, o bé com el catet V del triangle rectangle format per la hipotenusa v i l'altre catet c.

• El viatge de tornada és similar al viatge d'anada. El temps total de viatge serà

Amb les dades del problema,

• la velocitat del bot respecte de terra és de .

• l'angle que forma la proa del bot amb la direcció est-oest és θ = 138.6º

• el temps total de viatge serà t = 2·37.6 = 75.6 s

Exemple 3

Un riu flueix cap a l'est amb velocitat c = 3 m/s. Un bot es dirigeix cap al nord, θ = 90º, amb velocitat relativa a l'aigua de v = 4 m/s.

• Calculeu la velocitat del bot respecte de terra.
• Si el riu té una amplària de d = 100 m, calculeu el temps necessari per a creuar-lo.
• Quina és la desviació cap a l'est del bot quan arriba a l'altra riba del riu?
• Com s'ha de dirigir el vaixell per tal que una vegada en el punt P de la riba oposada regresse al punt O de partida?
• Calculeu el temps que tarda en tornar al punt de partida.

La velocitat del bot respecte de terra V és la suma vectorial de la velocitat del bot respecte de l'aigua v (quan l'aigua està quieta) i la velocitat del corrent d'aigua respecte de terra c.

El resultat de la suma V = v + c és

Vsinα i + Vcosα j = ci + vj

El mòdul del vector resultant V és

i forma un angle α amb la direcció nord-sud,

• El temps que tarda en el viatge d'anada és t₁= d/v.

• La desviació cap a l'est és x = c·t₁=c·d/v, o bé en el triangle rectangle de la figura tenim que x = d·tanα = d·c/v.

Amb les dades del problema,

• la velocitat del vaixell respecte de terra és V = 5 m/s i la seua orientació respecte de la direcció nord-sud és α = 36.9º,

• el temps que tarda en creuar el riu és t = 25 s,

• el desplaçament cap a l'est del vaixell en arribar a l'altra riba és x = 75 m.

La pregunta següent ja no és tan fàcil. Amb quin angle s'ha d'orientar la proa del vaixell per tal que una vegada en el punt P en la riba oposada regresse al punt O de partida?

Com es pot veure en la figura hem de calcular l'angle β de la direcció de la velocitat v del vaixell respecte del corrent per tal que la velocitat del vaixell respecte de terra V forme un angle α (calculat anteriorment) amb la direcció nord-sud.

El resultado de la suma V = v + c és

-V·sinα i + (-V)·cosα j = -v·sinβ i - v·cosβ j + c i

o bé,

V·sinα = v·sinβ - c
V·cosα = v·cosβ

amb tanα = c/v.

No resulta difícil demostrar que β = 2α. Per a tal fi s'han d'emprar les relacions trigonomètriques conegudes:

El temps que tarda el vaixell en regressar al punt de partida O és

Per a demostrar-ho s'ha emprat la relació trigonomètrica 1+tan²α = 1/cos²α.

El temps total de viatge és

Amb les dades problema tenim:

• l'angle que forma la proa del vaixell amb la direcció est-oest és θ = 90 + β = 90 + 2α = 163.8º,

• el temps de viatge de tornada t₂= 89.3 s i el total t = 25 + 89.3 = 114.3 s.

Comparació dels temps de viatge

El temps del viatge d'anada (t₁= 25 s) en el tercer exemple és el temps mínim per a creuar el riu, és menor que en el segon exemple (t₁= 37.6 s). Però el viatge de tornada en el tercer exemple (t₂= 89.3 s) és de major durada que en el segon exemple (t₂= 37.6 s). Per tant el temps del viatge d'anada i tornada en el segon exemple (t = 75.6 s) és menor que en el tercer exemple (t = 114.3 s)  i és el mínim que s'empra en creuar el riu.

El temps de viatge del primer exemple (t = 114.3 s) és igual al temps de viatge en el tercer exemple.

Activitats

S'introdueix:

• la velocitat del vaixell en aigua quieta, v, en el control d'edició V. vaixell,
• La velocitat del corrent, c, en el control d'edició V. corrent,
• La direcció de la proa del vaixell, o l'angle θ que fa amb la direcció est-oest, actuant sobre la barra de desplaçament, o introduint el valor numèric en el control d'edició angle.

Es pitja el botó Inici i tot segiut el botó Comença.

Quan el vaixell arriba a la riba oposada s'introdueix el valor de l'angle θ i es pitja el botó Comença.

Per a situar el vaixell en l'origen es pitja el botó Inici.

El vaixell es deté quan s'allunya de l'origen en la direcció del corrent més de 100 m. Per a situar-lo en la posició de partida només cal actuar sobre la barra de desplaçament que canvia l'angle θ.

S'introdueix la:

• velocitat del vaixell en aigua quieta, v = 4 m/s,

• velocitat del corrent c = 3 m/s.

Es pitja el botó Inici.

Exemple 1

1. Se selecciona un angle θ = 0º en la barra de desplaçament.
   • Es pitja el botó Comença.
   • Es mesura el temps t₁ que tarda el vaixell en recórrer 100 m riu avall.

Quan el vaixell es deté,

2. se selecciona l'angle θ = 180º en la barra de desplaçament,
   • es pitja el botó Comença,
   • es mesura el temps t₂ que tarda el vaixell en recórrer 100 m riu amunt.

Se sumen els dos temps, t = t₁+ t₂.

Exemple 2

Es pitja el botó Inici per a situar el vaixell en l'origen.

1. S'introdueix la dada relativa a l'angle, θ = 138.6º, es pitja la tecla Enter o Retorn.

• Es pitja el botó Comença.
• Es mesura el temps t₁ que tarda el vaixell en recórrer 100 m cap al nord fins que arribe a la riba oposada.

Quan el vaixell es deté,

2. s'introdueix la dada relativa a l'angle, θ = 138.6º, es pitja la tecla Enter o Retorn,

• es pitja el botó Comença,
• es mesura el temps t₂ que tarda el vaixell en recórrer 100 m cap al sud fins que regresse a l'origen.

Se sumen els dos temps, t = t₁+ t₂.

Exemple 3

Es pitja el botó Inici per a situar el vaixell en l'origen.

1. Se selecciona l'angle, θ = 90º, en la barra de desplaçament,

• es pitja el botó Comença,
• es mesura el temps t₁ que tarda el vaixell en recórrer 100 m fins que arriba a la riba oposada.

Quan el vaixell es deté,

2. s'introdueix la dada relativa a l'angle, θ = 163.8º, es pitja la tecla Enter o Retorn,

• es pitja el botón Comença,
• es mesura el temps t₂ que tarda el vaixell en recórrer 100 m fins que regressa a l'origen.

Se sumen els dos temps, t = t₁+ t₂