Dinàmica |
Sistemes de massa variable Model discret de coet Coet d'empenta constant Coet de dues etapes Moviment vertical d'un coet Descens del mòdul lunar Coet "perfecte" Flux de sorra
El rellotge de sorra La força que fa La pluja cau en un vagó de tren Una corda llisca El coet de Torricelli Moviment d'una cadena |
 Moviment
d'un dipòsit sota l'acció d'una força constant
|
|
|
En aquesta pàgina s'estudia el moviment d'un dipòsit, inicialment ple de sorra, quan s'obri un orifici en el fons del dipòsit:
En la pàgina anterior "Flux de sorra" s'ha estudiat el flux de sorra a través d'un orifici practicat en la part inferior d'un dipòsit estacionari. Suposarem que el flux vertical de sorra no es modifica quan el dipòsit es mou en la direcció horitzontal.
Moviment d'un dipòsit sota l'acció d'una força constantEn la figura es mostra un dipòsit cilíndric de radi R que té un orifici de radir en la base inferior. La massa del dipòsit en funció del tempsLa massa del dipòsit buit és M i s'emplena amb sorra fins a una altura h0. La massa inicial del dipòsit és m0= M + ρ·πR2·h0 on ρ és la densitat de la sorra. En la pàgina titulada "El flux de sorra" mostrem que el flux f = dm/dt de sorra a través de l'orifici és constant i independent de la seua altura h en el dipòsit. La massa del dipòsit disminueix linealment amb el temps. En l'instant t val m = m0 - f·t o bé m = M + ρ·πR2·h on
El dipòsit es buida quan h = 0, és a dir, en l'instant tm
Moviment del dipòsitLa segona llei de Newton per al moviment en una dimensió s'escriu
on p és el moment total del sistema i F la força neta que n'actua. Com que la massa del sistema varia amb el temps, hem de tenir molta cura quan ens referim al moment p ja que inclou el moment de la massa expulsada, com vam veure en la formulació de les equacions del moviment d'un coet i que tornarem a reproduir en aquesta pàgina.
En l'instant t el dipòsit de massa m du una velocitat v. El seu moment lineal és p(t) = mv En l'instant t+Δt:
El moment lineal del sistema en aquest instant és p(t+Δt) = (m-Δμ)(v+Δv) + Δμ(–u+ v) La variació del moment lineal entre l'instant t i l'instant t+Δt és Δp = p(t+Δt) - p(t) = m·Δv - u·Δμ - Δv·Δμ En el límit quan Δt→0
La massa M del sistema format pel dipòsit m i per la sorra descarregada μ és constant M = μ+m, per la qual cosa dμ + dm = 0. La massa del coet disminueix en dm i augmenta la massa de la sorra descarregada en la mateixa quantitat.
Si la velocitat u d'eixida de la sorra respecte del dipòsit és zero, l'equació del moviment s'escriu:
que és semblant a l'expressió per al cas d'una massa constant, però amb la diferència important que la massa és variable amb el temps. També és semblant a l'equació del moviment d'un coet d'empenta constant, on F = u·D és la força d'empenta que proporcionen els gasos en cremar-se:
Suposarem que el dipòsit es mou amb velocitat inicial v0, en l'instant inicial t = 0, en el qual s'obri l'orifici d'eixida de la sorra.
Integrant de nou obtenim l'expressió de la posició del mòbil en funció del temps. Recordant que
obtenim
quan s'esgota la sorra del dipòsit la massa del dipòsit buit m = m0 - f·tm és constant i l'acceleració és constant,
Les equacions del moviment uniformement accelerat són v = v1+ a(t-tm) on x1 i v1 és la posició del dipòsit en l'instant tm en el qual es buida el dipòsit de sorra. Quan no s'aplica cap força Quan no s'apliquen forces podíem pensar erròniament que en disminuir la massa del dipòsit la seua velocitat s'incrementaria. Però ens oblidem del moment lineal de la sorra expulsada. D'acord amb l'equaciódel moviment, si F = 0 la velocitat del dipòsit és constant i igual a la velocitat inicial v0. EnergiesL'energia cinètica inicial del dipòsit és
L'energia cinètica del dipòsit en l'instant t és
L'energia cinètica de la sorra descarregada fins a l'instant t és
Recordeu que la velocitat de la porció dm de sorra descarregada és zero respecte del dipòsit i v respecte de Tierra. El treball fet per la força constant F és F·x Podem comprovar que el treball de la força F s'inverteix en incrementar l'energia cinètica del dipòsit i de la sorra descarregada,
Per a comprovar-ho ens podem ajudar de les integrals
Exemple
La massa inicial del dipòsit ple de sorra és m0= M + ρ·πR2·h0 m0 = 50 + 2500·π·0.12·0.45 = 85.3 kg El temps que tarda en buidar-se el dipòsit és
En l'instant tm el dipòsit s'ha buidat i la seua massa és M = 50 kg. La velocitat final que arriba a tenir el dipòsit buit en aquest instant és
La posició x del dipòsit en l'instant tm= 46.5 s és
A partir d'aqust instant el dipòsit es mou amb acceleració constant,
v = 0.59 + 0.014(t-46.5)
ActivitatsEs pitja el botó Inici.
Dades que s'han fixat en el programa interactiu:
Es pitja el botó Comença. L'orifici situat en el fons del dipòsit s'obri i comença a caure un flux f constant de sorra. El dipòsit en disminueix la massa i n'incrementa la velocitat. Quan el dipòsit es buida la seua massa no canvia i, per tant, es mou amb acceleració constant. Per a fer una altra “experiència” es pitja el botó Inici, es canvia la massa del dipòsit buit, l'altura inicial de la sorra en el dipòsit i la força amb la qual s'estira del dipòsit, i es pitja el botó Comença. |
Arrossegueu amb el punter del ratolí la fletxa de color roig
|
Moviment d'un dipòsit de sorra sota l'acció d'una força variableEn aquest apartat s'estudia un sistema en el qual la massa i la força aplicada canvien. Consisteix en un dipòsit de sorra que perd massa per la part inferior i que es desplaça sobre dues vies paral·leles que fan una força de fregament quan el dipòsit es desplaça. Aquest dipòsit està unit mitjançant una corda que passa per una politja a un cos la massa del qual, M, és constant, com mostra la figura.
Equacions del movimentDibuixem les forces sobre el bloc i sobre el dipòsit. Suposarem que la politja té un moment d'inèrcia negligible.
L'equació del moviment del dipòsit és T - μN = ma L'equació del moviment del cos que penja és Mg - T = Ma Primera etapa: la massa del dipòsit disminueix La massa del dipòsit varia amb el temps de la forma m = m0- f·t on m0 és la massa inicial (dipòsit buit més la sorra que hi conté) i f el flux constant de sorra que ix per l'orifici situat en la part inferior. Eliminant T del sistema d'equacions,
Integrant
La fracció és fàcilment integrable si es transforma en aquesta altra expressió equivalent
Després de fer algunes operacions s'obté
Integrem de nou i obtenim el desplaçament x en funció del temps t. Si recordem que
obtenim
Segona etapa: la massa del dipòsit és constant La sorra s'esgota en l'instant tm. A partir d'aquest instant la massa del dipòsit és constant, m = m0 - f·tm L'acceleració del dipòsit i del bloc és constant, el moviment és uniformement accelerat,
La velocitat és v = v0+ a·(t-tm) La posició del dipòsit és x = x0+ v0(t-tm) + a(t-tm)2/2 on x0 i v0 són la posició i la velocitat del dipòsit en l'instant tm en el qual es queda buit. Exemple
La massa inicial del dipòsit de sorra és igual a la massa de la sorra més la massa del receptacle que la conté. S'ha pres com a massa del receptacle el 10% de la massa inicial de sorra.
La massa inicial del dipòsit és m0 = 1.1·1 = 1.1 kg El dipòsit de sorra es buida en l'instant tm= 1.0/0.8 = 1.25 s. En aquest instant la velocitat del dipòsit és
La posició del dipòsit és
A partir d'aquest instant el dipòsit es mou amb acceleració constant,
Les equacions del moviment són v = 5.76
+ 8.46·(t-1.25) Per exemple, en l'instant t = 1.6 s el dipòsit es troba en la posició x = 5.33 m i du una velocitat v = 8.72 m/s. Per exemple, el dipòsit arriba a la posició x = 4.0 m en l'instant t = 1.43 s, amb una velocitat v = 7.31 m/s.
ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Comença. La massa inicial del dipòsit de sorra és igual a la massa de la sorra més la massa del receptacle que la conté. S'ha pres com a massa del receptacle el 10% de la massa inicial de sorra.
El programa interactiu no comença si es compleix que μ·m0 > M i aleshores s'aconsella que es disminuisca el valor del coeficient de fregament μ.
|
Del segon apartat "moviment de un dipòsit de sorra sota la acció de una força variable"
Sullivan P., Chaplin B, A system to change both mass and applied force. The Physics Teacher, Vol 37, May 1999, 309-311.
Dipòsit de sorra
que es mou
