Dinàmica |
Sistemas de massa variable Model discret de Coet d'empenta Coet de dues etapes Moviment vertical d'un coet Descens del mòdul lunar Coet "perfecte" Flux de sorra Dipòsit de sorra que es mou
La força que fa la pressió atmosfèrica La pluja cau en un vagó de tren Una corda llisca El coet de Torricelli Moviment d'una cadena |
Descripció
Rellotge de sorra de forma cilíndrica |
|||||||||||||
|
DescripcióEn la figura es mostra un rellotge de sorra en un instant t. Siga y2 la posició de la superfície lliire de la sorra en la porció superior i y1 la posició en la porció inferior. La posició del coll cilíndric que uneix les dues porcions és a. Siga A(y) l'àrea de la secció trasversal del rellotge de sorra en la posició y i ρ la densitat de la sorra.
La posició Yc del centre de masses del sistema està donaa per
on M és la massa total del rellotge de sorra i C és una constant que té en compte la sorra que està caent, la massa del receptacle de vidre i altres detalls fixes de la construcció del rellotge de sorra. Derivant respecte del temps obtenim la velocitat del centre de masses vc
El flux f es defineix com la massa que ix del receptacle superior (o que entra en el receptacle inferior) en la unitat de temps,
La velocitat del c.m. vc té una expressió molt senzilla Mvc = f(y1-y2) Com que y1 < y2 la velocitat del c.m vc és negativa (cap a baix). Derivant de nou respecte del temps obtenim l'acceleració del centre de masses
El flux f de sorra és aproximadament constant, per la qual cosa el segon terme és quasi nul. Col·loquem el rellotge de sorra sobre una balança electrònica. Siga ΔF la diferència entre el pes N del rellotge en marxa i el pes Mg del rellotge de sorra parat.
ΔF > 0, l'acceleració del c.m. és sempre positiva, cap a dalt, tot i que el centre de masses es mou cap a baix. Quan el rellotge està en marxa la balança mesura una força N major que el pes Mg del rellotge parat. En aquesta deducció no es considera l'estat transitori, quan la sorra comença a caure, ni quan acaba de fluir la sorra; tan sols la situació intermitja.
Rellotge de sorra de forma cilíndricaConsta de dos cilindres iguals de radi R i longitud L, units per un coll pel qual flueix sorra a raó constant de f kg/s. Posició del centre de massa Calculem el centre de masses de la sorra continguda en els dos receptacles, i negligim el coll que els uneix. Els centres de masses de la sorra de cadascuna de les porciones s'assenyalen en la figura mitjançant punts de color roig.
La posició del centre de masses del sistema és
Velocitat del c.m. Derivant respecte del temps
on s'ha definit el flux f de sorra com
Acceleració del c.m. Derivant respecte del temps
L'acceleració del centre de masses és constant. A partir de la fórmula (1) podem obtenir també l'acceleració del c.m.
Com que A(y1) = A(y2) = πR2 i la massa de la sorra és M = ρ πR2L
Rellotge de sorra de forma cònica
La posició yc del centre de massa d'una figura cònica de revolució al voltant de l'eix y es calcula mitjançant la fórmula
Per a integrar s'ha de relacionar x i y
La integral és immediata
El denominador és el volum del tronc d'altura h. Quan h = H tenim el centre de masses d'un con massís de radi R i altura H
El denominador de yc és el volum del con, πR2H/3. Calculem la posició del centre de masses de cadascuna de les dues porcions de sorra: un tronc de con i un con invertit, respecte de l'origen situat en el vèrtex comú dels dos cons.
Velocitat del c.m. Derivant respecte del temps obtenim la velocitat del c.m.
Acceleració del c.m. Derivant respecte del temps obtenim l'acceleració del c.m.
L'acceleració del c.m. és positiva i tendeix a infinit quan h→H, és a dir, quan s'esgota la sorra de la part superior. Podem calcular també l'acceleració del c.m. mitjançant l'expressió (1) obtinguda en l'apartat descripció,
Per a un rellotge de sorra format per dos cons iguals units pels vèrtex,
i per tant,
La massa total de sorra és
L'acceleració del c.m. és
Altura de la sorra en el receptacle cònic inferior El flux f de sorra és constant; al cap d'un temps t la sorra emplena el volum V = f·t/ρ d'un tronc de con d'altura h. Ja hem calculat la fórmula del volum d'un tronc de con,
Si coneixem el radi de la base R del con i la seua altura H hem de resoldre una equació cúbica per a trobar l'altura h del tronc de con en l'instant t,
Aquesta equació es resol per procedimients numèrics en el programa interactiu. Exemple
En un instant determinat t l'altura h del tronc de con és de 0.20 m. Calculeu l'instant t, la posició del c.m. i la diferència de forces ΔF = Mac que assenyala la balança.
ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Comença.
La diferència és ΔF = N - Mg = Mac La balança mesura aquesta diferència. Al principi, quan el rellotge està parat, ΔF = 0, pero després s'incrementa fins que tendeix (teòricament) a infinit quan deixa de fluir la sorra procedent del receptacle cònic superior. Veiem com el c.m. del sistema, assenyalat per un punt de color roig, descendeix a mesura que cau la sorra del receptacle cònic superior.
|
Shen K.Y., Scott B. The hourglass problem. Am. J. Phys. 53 (8) August 1985, 787-788.
El rellotge de sorra
(1)
