Dinàmica |
Sistemes de massa variable Model discret de coet Coet d'empenta Coet de dues etapes Moviment vertical d'un coet Descens del mòdul lunar Coet "perfecte" Flux de sorra Dipòsit de sorra El rellotge de sorra
La pluja cau en un vagó de tren Una corda llisca El coet de Torricelli Moviment d'una cadena |
Moviment del projectil en el tub de llançament | |
|
En aquesta pàgina s'estudia un sistema de massa variable i es comprova els efectos de la força que fa la pressió atmosfèrica.
Disposem d'un tub de PVC de longitud L i secció A, segellat pels dos extrems, que té en l'interior una pilota de ping-pong. El diàmetre del tub és un poc major que el diàmetre de la pilota, de manera que aquesta es pot moure al llarg del tub.
Moviment del projectil en el tub de llançamentSuposem que el projectil té una secció A i una massa m. La força que fa la pressió atmosfèrica p0 sobre el projectil és p0·A. Però aquesta força ha d'accelerar el projectil de massa m i la columna d'aire de massa ρAx que hi ha per darrere del projectil (en color groc en la figura).
L'equació del moviment és
Si el projectil parteix del repòs v = 0 en l'instant t = 0, l'expressió de la velocitat v en funció del temps t és
Per a obtenir la posició x del projectil en funció del temps t hem d'integrar
amb la condició inicial que en l'instant t = 0 el projectil parteix de l'origen x = 0,
La velocitat v del projectil en funció del temps és
Per a un canó infinitament llarg, quan t→∞ la velocitat final tendeix a
Aquesta velocitat es pot comparar amb la velocitat del so en l'aire
on γ = 1.4 és el índex adiabàtic de l'aire. Exemple Una pilota de ping-pong té una massa m = 2.5 g i un diàmetre de 3.8 cm, o una secció trasversal de A = 1.13·10-3 m2; la densitat de l'air és ρ = 1.29 kg/m3 i la pressió atmosfèrica és p0 = 1.013·105 Pa. Calculem la velocitat final del projectil en un tub de longitud L = 1.5 m.
Moviment del projectil fora del tubPer a simular el moviment de la pilota de ping-pong fora del tub de llançament suposem que sobre el projectil actua una força de fregament proporcional al quadrat de la velocitat,
Integrem aquesta equació sabent que en l'instant t = t0 el mòbil du una velocitat v0, és a dir, la velocitat final en eixir del tub de llançament.
Integrem de nou per a obtenir la posició x en funció del temps, sabent que en l'instant t0 parteix de la posició x0 = L,
ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Comença. Primer es connecta el tub a una bomba de buit i un manòmetre ens assenyala la disminució de la pressió en el tub segellat pels dos extrems. A continuació s'observa el moviment del projectil (en color roig) al llarg del tub i la columna d'aire (en color groc ) darrere. En la part superior de la miniaplicació (applet) es representa la velocitat v del projectil en funció de la posició x, mesurada des de la part esquerre del tub, que es pren com a origen. El projectil arriba a una velocitat màxima al final del tub i després disminueix degut al fregament amb l'aire. En aquesta “experiència” anotarem la velocitat final v0 i la relacionarem amb la massa m del projectil i amb la longitud L del tub. |
Ayars E., Buchholtz L. Analysis of the vacuum cannon. Am. J. Phys. 72 (7) July 2004, 961-963.
La força que fa
la pressió atmosfèrica
