Dinàmica

Moviment circular

Moviment circular

Estabilitat d'un 
  vehicle

El regulador centrífug

Superfície d'un líquid
en rotació

Gravetat artificial

Corba amb peralt

Estabilitat d'un vehicle

Referències

En aquesta pàgina es descriu la dinàmica del moviment circular d'un vehicle que fa una corba sense peralt.

Primer considerem el vehicle com una partícula. Després estudiem l'estabilitat d'un vehicle amb unas dimensions i una distribució de càrrega determinada.

Corba sense peralt

Un automòbil descriu una trajectòria circular de radi R amb velocitat constant v.

Una de les principals dificultats que es presenten a l'hora de resoldre aquest problema és la de separar el moviment tangencial (uniforme amb velocitat constant) del moviment radial del vehicle, que és el que tractarem d'estudiar.

Fonaments físics

Suposem que el vehicle descriu una trajectòria circular de radi R amb velocitat constant v. Per a un observador inercial, situat fora del vehicle, les forces que actuen sobre el mòbil són:

• el pes,
• la reacció de la carretera,
• la força de fregament.

Aquesta última és la que fa que el vehicle descriga una trajectòria circular.

Com que hi ha equilibri en sentit vertical, la reacció del pla és igual al pes:

N = mg

Aplicant la segona llei de Newton al moviment en la direcció radial,

on v és la velocitat del mòbil i R el radi de la circumferència que descriu.

A mesura que s'incrementa la velocitat v s'incrementa la força de fregament F_r fins que s'arriba a un valor màxim donat pel producte del coeficiente de fregament estàtic i la reacció del pla, m·N.

La velocitat màxima v a què pot arribar el vehicle per tal que descriga una corba circular de radi R és, per tant,

Com podem apreciar en el programa interactiu, a mesura que s'augmenta la velocitat del mòbil la força de fregament creix fins arribar al valor màxim m·N; la trajectòria del vehicle és una circumferència.

Si la velocitat del mòbil és superior a la màxima, la força de fregament, que és perpendicular al vector velocitat, té un valor constant i igual al seu valor màxim; la trajectòria del mòbil deixa de ser circular. Per a simplificar el problema hem suposat que els coeficients de fregament estàtic i cinètic tenen el mateix valor.

Activitats

S'introdueix:

• el radi de la trajectòria circular (menor de 500 m) en el control d'edició Radi
• el coeficiente de fregament, en el control d'edició Coef. fregament
• la velocitat del mòbil, en el control d'edició Velocitat

Es pitja el botó Comença i s'observen les forces sobre el mòbil.

S'incrementa la velocitat del mòbil i es torna a pitjar el botó Comença.

Obteniu el valor de la velocitat límit màxim i compareu-la amb la calculada a partir de la dinàmica del moviment circular.

Corba amb peralt

Considerem ara el cas que la corba tinga un peralt d'angl θ.

1. Analitzem el problema des del punt de vista de l' observador inercial

Les forces que actuen sobre el cos són les mateixes que en el cas de la corba sense peralt però amb distinta orientació, llevat del pes:

• El peso mg

• La força de fregament F_r

• La reacció del pla N

En la figura de l'esquerra es mostren les forces i en la figura de la dreta s'han substituït la força de fregament F_r i la reacció del pla N per l'acció simultània de les seues components rectangulars.

Una de les dificultats que tenen els estudiants és la de situar correctament l'acceleració normal, a_n; solen posar-la paral·lela al pla inclinat, en lloc d'horitzontal. Aleshores se'ls mostra que la circumferència que descriu el vehicle és una secció cònica tallada per un pla perpendicular a l'eix del con i, per tant, el centre d'aquesta circumferència està situat en aquest pla i no en el vèrtex del con.

• En l'eix vertical no hi ha acceleració, tenim una situació d'equilibri:

N·cosθ = F_r·sinθ + mg

• En l'eix horitzontal apliquem la segona llei de Newton per al moviment circular uniforme:

N·sinθ + F_r·cosθ = mv²/R

El vehicle comença a lliscar en la direcció radial quan du una velocitat tal que F_r=μN. En el sistema de dues equacions,

N·(cosθ - μ·sinθ) = mg
N·(sinθ + μ·cosθ)= mv²/R

aïllem la velocitat màxima v que pot dur el vehicle per tal que descriga la corba amb seguritat,

2. Des del punt de vista de l'observador no inercial que viatja en el vehicle

Les forces que intervénen són:

• El pes mg

• La força de fregament F_r

• La reacció del pla N

• La força centrífuga F_c= mv²/R

El vehicle està en equilibri, de manera que

N·cosθ = F_r·sinθ + mg
N·sinθ + F_r·cosθ = mv²/R

Coneguda la velocitat v del vehicle podem calcular la força de fregament F_r i la reacció del pla N.

La velocitat màxima que pot dur un vehicle per tal que descriga la corba amb seguretat és aquella per a la qual la força de fregament arriba al valor màxim, F_r= μN.

Aïllem la velocitat v i obtenim la mateixa expressió.

Exemple

Un cotxe circula per la corba d'una carretera de 500 m de radi. Sabent que el coeficient de fregament entre les rodes de l'automòbil i l'asfalt sec és de 0.75, calculeu la velocitat màxima amb què l'automòbil pot descriure la corba amb seguretat en els casos següents:

• la corba no té peralt

• la corba té un peralt de 15º

L'estabilitat d'un vehicle

Considerem un vehicle que està descrivint una corba de radi R amb velocitat constant v. A causa de la distribució de la càrrega, el centre de masses està situat en la posició x_c, y_c, com s'assenyala en la figura. Si el coeficient de fregament entre les rodes del vehicle i la carretera és μ, determinem si:

• el vehicle està en equilibri

• si llisca cap a fora, i se n'ix de la corba

• si bolca, girant al voltant d'un eix que passa per les rodes de la part dreta, quan l'automòbil descriu una corba cap a l'esquerra

• si llisca i bolca al mateix temps

Descripció

Per a un observador no inercial, que viatja amb el vehicle, les forces que n'actuen són :

N1 i N2, les reaccions o forces que fa la carretera sobre les rodes del vehicle; F1 i F2, les forces de fregament que s'oposen al lliscament del vehicle al llarg de la direcció radial i cap a fora; el peso mg del vehicle, que actua en el centre de masses; la força centrífuga Fc, que actua en el centre de masses.

Si el vehicle roman en repós al llarg de la direcció radial tindrem que

N₁ + N₂= mg
F_c = F₁ + F₂

Prenent moments respecte de O, la condició d'equilibri s'expressa:

-N₁·a - F_c·y_c + mg·x_c = 0

on a és la distància entre les rodes. Aïllem N₁ en aquesta darrera equació,

Examinem les distintes situacions:

• El vehicle bolca

A mesura que augmenta la velocitat v del vehicle, augmenta la força centrífuga F_c=mv²/R, fins que N₁ es faça zero. Un increment de la velocitat fa que el vehicle comence a bolcar.

La condició perquà comence a bolcar és N₁ = 0 o v²/R = gx_c/y_c

• El vehicle llisca

La força de fregament F₁ + F₂ = F_c no pot superar el valor màxim μN₁ + μN₂ = μ·mg

La condició perquè el vehicle comence a lliscar és que v²/R = μg

Si mg·x_c > F_cy_c el vehicle no bolca.

Si F_c < μ·mg el vehicle no llisca.

1. Si mg·x_c >μ·mgy_c, és a dir, si μ < x_c/y_c, el vehicle comença a lliscar en el moment que es compleix que v²/R = μg.

2. Si μ > x_c/y_c el vehicle comença a bolcar en el moment que es compleix que v²/R = gx_c/y_c.

Exemple 1

• Posició del c.m., x_c= 0.7, y_c= 1.0

• Siga μ = 0.5

1. Estem en el cas μ < x_c/y_c

El vehicle comença a lliscar quan es compleix que v²/R = μg, és a dir, quan v = 49.5 m/s

Comprovació:

El màxim valor de la força de fregament és μ·mg = 0.5·9.8·m = 4.9·m

• Siga v = 49 m/s.

La força centrífuga val F_c= mv²/R = m·49²/500 = 4.8·m. La força de fregament F₁ + F₂ = F_c és menor que el seu valor màxim; el vehicle no llisca.

Calculem el valor de N₁

Com que N₁ > 0 el vehicle no bolca.

• Siga v = 50 m/s.

La força centrífuga val F_c= mv²/R = m·50²/500 = 5·m. La força de fregament, F₁ + F₂ = F_c és mayor que el seu valor màxim i el vehicle llisca.

Calculem el valor de N₁:

Com que N₁ > 0 el vehicle no bolca.

Exemple 2

• Posició del c.m., x_c = 0.7, y_c = 1.0

• Siga μ = 0.8

2. Estem en el caso μ > x_c/y_c

El vehicle comença a bolcar quan es compleix que v²/R = gx_c/y_c, és a dir, quan v = 58.6 m/s

Comprovació:

El màxim valor de la força de fregament és μ·mg = 0.8·9.8·m = 7.84·m

• Siga v = 58 m/s.

La força centrífuga val F_c= mv²/R = m·58²/500 = 6.73·m. La força de fregament F₁ + F₂ = F_c és menor que el seu valor màxim i el vehicle no llisca.

Calculem el valor de N₁:

Com que N₁ > 0 el vehicle no bolca.

• Siga v = 60 m/s.

La força centrífuga val F_c= mv²/R = m·60²/500 = 7.2·m. La força de fregament, F₁ + F₂ = F_c és menor que el seu valor màxim i el vehicle no llisca.

Calculem el valor de N₁:

Com que N₁ < 0 el vehicle bolca.

A partir de la velocitat v²/R = μg, és a dir, v²/500 = 0.8·9.8,  v = 62.6 m/s, el vehicle llisca i bolca a l'hora.

Activitats

S'introdueix:

• La distribució de càrrega en el vehicle, és a dir, la posició (x_c, y_c) del c.m., movent amb el punter del ratolí el petit cercle de color roig que hi ha a l'interior del rectangle del mateix color.

• El coeficiente de fregament μ, actuant sobre la barra de desplaçament Coef. fregament.

• El radi R de la corba s'ha fixat en el programa interactiu en el valor R = 500 m.

• L'amplària del vehicle (distància entre les rodes) s'ha fixat en el valor a = 2.0 m.

Es pitja el botó Nou.

• La velocitat del vehicle v (en m/s), actuant sobre la barra de desplaçament Velocitat.

Es pitja el botó Comença.

S'observa el comportament del vehicle:

•  Si està en equilibri

• Si llisca

• Si bolca

• Si llisca i bolca a l'hora

Es dibuixen les forces sobre el vehicle i se'n dóna el valor (de la força per unitat de massa) d'algunes.