Dinàmica |
Sistemes de massa variable Model discret de coet
Coet de dues etapes Moviment vertical Descens del modul lunar Coet "perfecte" Flux de sorra Dipòsit de sorra El rellotge de sorra La força que fa La pluja cau en un vagó de tren Una corda llisca El coet de Torricelli Moviment d'una cadena |
Equació del moviment | |||||||||||||||||||||
|
En aquesta pàgina estudiarem el moviment d'un coet en l'espai exterior. Un coet ordinari funciona a base de reaccions químiques que proporcionen una velocitat constant u d'eixida dels gasos en el Sistema de Referència situat en el coet. Si la quantitat de combustible D que es crema en la unitat de temps és constant, aleshores l'empenta que proporcionen al coet els gasos expulsats és també constant. En aquesta pàgina veurem que la velocitat final del coet no depén de la quantitat D de combustible cremat en la unitat de temps, tot i que el temps que tarda en arribar a la velocitat maxima o el desplaçament del coet sí que en depenen.
Equació del movimentConsiderem un coet de massa inicial m que du una velocitat v respecte d'un Sistema de Referència Inercial (per exemple, la Terra). En l'instant t+Δt, una massa Δμ és expulsada amb una velocitat constant –u relativa al coet; com a conseqüència, la massa restant (m-Δμ) del coet s'incrementa en v+Δv.
En l'instant t el coet de massa m du una velocitat v. El seu moment lineal és p(t) = mv En l'instant t+Δt:
El moment lineal en aquest instant és p(t+Δt) = (m-Δμ)(v+Δv) + Δμ(–u+ v) Si el coet està en l'espai exterior, el sistema format pel coet i el combustible que expulsa és aïllat i el moment lineal p roman constant. L'equació del moviment del coet és Δp = p(t+Δt) - p(t) = m·Δv - u·Δμ - Δv·Δμ = 0 En el límit quan Δt→0
La massa M del sistema format pel coet m i el combustible expulsat μ és constant, M = μ+m, i, per tant, dμ + dm = 0. La massa del coet disminueix en dm i augmenta la massa del combustible expulsat en la mateixa quantitat,
Si aïllem dv
La integració entre els instants 0 i t condueix a l'expressió següent:
Suposarem que la quantitat de combustible cremat en la unitat de temps, D = -dm/dt, és constant. La massa m del coet en l'instant t valdrà m = m0 - D·t, on m0 és la suma de la càrrega útil més el combustible inicial, i D·t és el combustible cremat al cap d'un determinat temps t. L'equació del moviment (1) la podem interpretar afirmant que el coet es comporta com una partícula de massa variable m que es mou sota l'acció d'una força d'empenta constant u·D.
Per a trobar el desplaçament x del coet en el temps t s'integra l'expressió de la velocitat
per a la qual cosa es útil conéixer la integral
Resulta l'expressió
Quan s'esgota el combustible el coet es mou amb velocitat constant.
Moment lineal
Un coet amb una massa inicial m0 comença a expulsar els gasos amb una velocitat u relativa al coet i, per tant, es comença a moure en l'espai exterior. Al cap d'un temps determinat arriba a una velocitat v, expulsant els gasos amb una velocitat u relativa al coet o amb una velocitat v-u relativa a l'observador terrestre. Si el coet parteix del repòs, v0 = 0, la velocitat dels gasos respecte de l'observador terrestre, v-u, no és constant. Al principi té sentit contrari al moviment del coet, v-u < 0, però al cap d'un determinat temps t la velocitat dels gasos, v-u > 0, és del mateix sentit que la del coet.
t > 0.632m0/D En l'instant t = 0.632m0/D els gasos expulsats estan en repòs respecte de l'observador terrestre. El moment lineal del coet en l'instant t és
El moment lineal dels gasos expulsats entre l'instant t = 0 i l'instant t és
Com que el coet i els gasos formen un sistema aïllat el moment lineal del coet és igual i de sentit contrari al dels gasos expulsats des de l'instant inicial t = 0 a l'instant t. Com que la velocitat dels gasos respecte de l'observador terrestre no és constant cal calcular una integral per a obtenir el moment total dels gasos expulsats fins a l'instant t, i comprovar d'aquesta manera que es compleix el principi de conservació del moment lineal, principi en el qual ens hem basat, per altra banda, per a obtenir l'equació del moviment del coet.
EnergiesL'energia cinètica del coet en l'instant t és
L'energia cinètica dels gasos expulsats des de l'instant t = 0 a l'instant t és
Per a arribar a aquest resultat cal conéixer les integrals següents:
L'energia cinètica total del sistema aïllat format pel coet i els gasos en l'instant t és
El rendiment del coet en l'instant t és el quocient entre l'energia cinètica del coet i l'energia cinètica total (coet més els gasos expulsats).
Exemple
Massa total del coet = càrrega útil + combustible + massa del receptacle m0= 800 + 9000 + 0.05·9000 = 10250 kg
Com que hi ha 9000 kg de combustible que es cremen a raó de 1000 kg/s, el combustible s'esgota en 9 s.
ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Comença. El coet parteix amb velocitat inicial zero, v0= 0, des de l'origen, x0= 0. La massa inicial m0 és la suma de la càrrega útil més el combustible i més la massa del receptacle cilíndric (que serà proporcional a la massa del combustible que conté) masa inicial m0 = càrrega
útil + (1+r)·combustible El temps tmàx que tarda en esgotar-se el combustible és igual al quocient entre la massa de combustible c i la quantitat D que es crema per segon, tmàx= c/D Quan s'esgota el combustible c el coet descriu un moviment rectilini i uniforme, ja que no n'actuen forces.
En la cua del coet es dibuixa una fletxa que indica la intensitat de la força d'empenta. Com que la velocitat dels gasos és constant (en el Sistema de Referència del coet) l'empenta és constant. Comproveu que el coet arriba al mateix valor de la velocitat màxima, independentment de la quantitat D de combustible cremat en la unitat de temps. Manteniu constants la quantitat de combustible c i la càrrega útil i varieu la quantitat de combustible cremat per segon. Anoteu en una taula les velocitats finals vmàx, una vegada esgotat tot el combustible, el temps emprat en arribar a la velocitat màxima tmàx, i el desplaçament del coet, x, fins a aquest instant. Feuservir els botons Pausa i Pas per a apropar-se a l'instant en el qual s'esgota el combustible.
En la miniaplicació (applet) es mostra el balanç energètic del coet. Un cercle mostra l'energia inicial del combustible en el coet, i com aquesta energia es va transformant en energia cinetica dels gasos expulsats i en energia cinètica del coet. En esgotar-se tot el combustible, una part de l'energia inicial del combustible s'ha transformat en energia cinètica del coet.
|
Coet d'empenta
constant
(1)
