Dinàmica |
Sistemes de massa variable. Model discret de Coet d'empenta
Moviment vertical d'un coet Descens del mòdul lunar Coet "perfecte" Flux de sorra Ddipòsit de sorra El rellotge de sorra La força que fa La pluja cau en un vagó de tren Una corda llisca sobre una taula Moviment d'una cadena |
 Coet
de dues etapes
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
En aquesta pàgina veurem els avantatges que representa un coet de dues etapes davant d'un coet, de les mateixes característiques, d'una sola etapa, i investigarem el repartiment òptim de combustible entre les dues etapes per a aconseguir que la velocitat final siga la màxima possible.
Coet de dues etapes
Massa inicial m0 = càrrega útil + (1+ r)·combustible total. La quantitat de combustible en la primera fase c0 és igual al producte del combustible total pel tant per cent, i dividit per cent. Combustible en la primera fase c0= combustible total · tant per cent/100. Una vegada ha transcorregut un temps t0 igual al quocient entre el combustible en la primera fase c0 i la quantitat D que es crema per segon, t0= c0/D s'arriba a una velocitat màxima v1
El coet es desprén de la primera fase i disminueix la massa inicial del coet m0 en una quantitat igual a la suma de la massa del combustible cremat c0 i la massa del receptacle que el conté, massa inicial en engegar-se la segona fase m1= m0 - (1+ r)·c0 o bé massa inicial en engegar-se la segona fase m1= càrrega útil + (1+ r)·c1 on c1 és la massa de combustible de la segona fase, que és igual a la massa del combustible total menys la massa de combustible de la primera fase c0 ja cremat, combustible en la segona fase c1= combustible total - combustible en la primera fase c0 En l'instant t1 s'esgota el combustible de la segona fase i t1 és igual al quocient entre la massa de combustible total i la quantitat D que es crema per segon, t1= combustible total/D. Quan s'esgota el combustible, el coet arriba a la velocitat màxima v2 i continua amb la mateixa velocitat ja que no n'actuen forces.
ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Comença. Ara es tractarà de comprovar que un coet de dues etapes, que transporta la mateixa quantitat de combustible i la mateixa càrrega útil, és més avantatjós que el mateix coet d'una sola etapa. En segon lloc es tractará d'investigar la dependència de la velocitat final del coet amb el repartiment de combustible total entre les dues etapes. Manteniu fixes la quantitat total de combustible i la càrrega útil i tracteu de modificar el tant per cent de combustible en la primera etapa, c0/(c0+c1) i anoteu la velocitat final una vegada esgotat tot el combustible de la primera i de la segona etapa. Quina és aproximadament la distribució òptima de combustible?, és a dir, aquella que dóna lloc a una velocitat final major?
|
Repartiment òptim del combustibleDissenyarem un coet de dues etapes que accelerarà una càrrega útil mu fins a una velocitat v en l'espai exterior, lliure de l'acció del camp gravitatori i de la resistència de l'aire. El combustible total del coet és c0+c1, repartit en les dues fases. El receptacle que el conté té una massa de r vegades la massa del combustible. La velocitat dels gasos relativa al coet és u. La massa total del coet serà la suma de la càrrega útil, de la del combustible i de la del receptacle que el conté, m0 = mu + (1+r)(c0+c1) Una vegada consumida la primera fase, la massa del coet és la suma de la càrrega útil, de la del combustible de la segona fase i de la del receptacle que el conté, m1= mu + (1+r)·c1 Com ja hem demostrat, la velocitat del coet en consumir-se la primera fase serà
Quan s'haja consumit la segona fase la velocitat final v2 serà
Si anomenem f0= m1/m0 i f1= mu/m1 s'obté
Hem de minimitzar el pes total del coet m0, per a un valor donat de la càrrega útil mu i de la velocitat v2 a què volem arribar. Utilitzem el procediment dels multiplicadors de Lagrange per a las equacions (1) i (2) i s'obté el resultatsegüent:
Tenint en compte aquest resultat podem determinar la distribució òptima de combustible en les dues etapes del coet. Anomenem p a la proporció de combustible en la segona fase
La igualtat (3) ens du a l'equació de segon grau en p
Aïllem l'arrel positiva de l'equació,
Exemple Siga un coet que transporta una càrrega útil de 800 kg; el combustible total és 9000 kg, i el valor de r = 0.05 (el dipòsit representa una massa del 5% del combustible que conté). Primer calculem k
i després p = 0.22. La velocitat màxima de la càrrega útil després d'haver-se consumit el combustible s'obté per a p = 0.22, és a dir, si posem el 22% de combustible en la segona fase i el 78% en la primera fase. El coet que va dur el primer home a la Lluna tenia 3 etapes; es podria pensar que aquest és el nombre òptim. Es pot demostrar que a mesura que es fan servir més i més etapes decreix el peso total enl enlairar-se. Tanmateix, després de tres etapes les variacions del pes tenen menys importància per al dissenyador que els problemes que es deriven de la complexitat estructural (control de les vibracions, etc.).
ReferènciaDíaz-Jiménez, A., Mathieu Valderrama R. Redistribuyendo la masa con la velocidad: El cohete clásico. Revista Española de Física. Vol. 4, nº 3, 1990, 65-67. |
Coet de dues etapes
(1)
(2)
(3) 
