|
Examinarem ara el moviment d'un coet que és llançat verticalment
des de la superfície de la Terra. Suposarem que es tracta d'un
coet petit, que arriba a una altura limitada. Podem considerar que la
intensitat de la gravetat g és aproximadament constant
i igual a 9.8 m/s2.
Analitzarem les dues etapes en el moviment del coet:
- Des que es llança fins que esgota el combustible.
- Des del moment que esgota el combustible, fins que arriba a l'altura
màxima.
 |
Considerem un coet que en l'instant t té
una massa m que du una velocitat v respecte d'un Sistema
de Referència Inercial (per exemple, la Terra).
En l'instant t+Δt, una massa Δμ
de combustible és expulsada amb una velocitat constant –u
relativa al coet; com a conseqüència, la velocitat de
la massa restant (m - Δμ) del coet incrementa
en v+Δv.
|
En l'instant t el coet de massa m du
una velocitat v. El moment lineal és
p(t) = mv
En l'instant t+Δt:
-
El coet té una massa m - Δμ,
la seua velocitat és v+Δv.
-
La massa expulsada Δμ du una velocitat
–u respecte del coet o una velocitat –u +v, respecte
de Terra.
El moment lineal en aquest instant és
p(t+Δt) = (m-Δμ)(v+Δv)
+ Δμ(–u+v+Δv)
El canvi de moment lineal entre els instants t i
t+Δt és
Δp =
p(t+Δt)-
p(t) = m·Δv -
u·Δμ - Δμ·Δv
En el límit quan Δt→0,
El canvi de moment lineal es deu a l'acció de
les forces exteriors al sistema (la força d'atracció gravitatòria,
que apunta en sentit contrari al moment lineal),
Per l'altra banda, la massa M del sistema format
pel coet m i el combustible expulsat μ és constant
M = μ + m, i per tant dμ + dm
= 0: la massa del coet disminueix en dm i augmenta la massa
del combustible expulsat en la mateixa quantitat.
L'equació del moviment del coet s'escriu
 |
Suposem que la quantitat de combustible cremat en la
unitat de temps, D, és constant, D = -dm/dt.
La massa m del coet en l'instant t valdrà
m = m0- D·t, on m0
és la suma de la càrrega útil més el combustible
inicial i D·t és el combustible cremat al cap d'un temps
t.
Un coet es pot considerar una partícula de massa variable m
sotmesa a dues forces de la mateixa direcció però
de sentits contraris: l'empenta dels gasos uD i el pes
mg. |
Com a cas particular esmentarem que en
l'espai exterior el pes mg val zero i sobre el coet actuaria
únicament la força d'empenta que li proporciona l'expulsió dels
gasos en cremar-se el combustible.
L'equació anterior la podem escriure
que es pot integrar de forma immediata
i s'obté l'expressió de la velocitat en funció del temps
Tornem a integrar
i s'obté la posició x del mòbil en qualsevol
instant t,
L'empenta és major que el pes
- Combustible total en el coet, 1.0 kg.
- Càrrega útil que transporta, 2.0 kg.
- Combustible cremat per segon, D = 0.1 kg/s.
- Velocitat inicial d'eixida dels gasos, u0= 1000
m/s.
Es considera menyspreable la massa del receptacle que conté el
combustible.
- Forces sobre el coet
massa total del coet = càrrega útil + combustible
m0= 2.0 + 1.0 = 3.0 kg
El pes del coet m0g (29.4 N) és menor
que l'empenta u·D (100 N)
- Temps que tarda en esgotar-se el combustible
Com que hi ha 1.0 kg de combustible que es cremen a raó de 0.1 kg/s,
el combustible s'esgota en l'instant t0= 10 s.
- Velocitat màxima a què arriba el coet
- Altura a què arriba fins que s'esgota el combustible
- Una vegada s'ha esgota el combustible, el coet prosegueix el seu moviment
fins que arriba a l'altura màxima. Les equacions del moviment
són
on x0 i v0 són
la posició i la velocitat del coet en l'instant t0
en el qual s'ha esgotat el combustible.
S'arriba a l'altura màxima quan v = 0, en l'instant t
= 41.4 s. La posició del coet en aquest instant és x
= 6223 m.
L'empenta és menor que pes
- Combustible total en el coet, 2.0 kg.
- Càrrega útil que transporta, 9.0 kg.
- Combustible cremat per segon, D = 0.1 kg/s.
- Velocitat inicial d'eixida dels gasos, u0= 1000
m/s.
Es considera menyspreable la massa del receptacle que conté el
combustible.
- Forces sobre el coet
El pes del coet (2.0+9.0)·9.8 = 176.4 N és major que l'empenta,
u·D = 1000·0.1= 100 N.
Es va cremant el combustible sense que es moga el coet fins el moment
que el pes iguala a l'empenta,
(c+9)·9.8 = 100
Quan el combustible val c = 1.204 kg el coet comença
a enlairar-se. S'han malgastat 2 - 1.204 = 0.798 kg de combustible.
- Massa inicial del coet en enlairar-se
m0= 1.204 + 9.0 = 10.204 kg
- Temps que tarda en esgotar-se el combustible
Com que hi ha 1.204 kg de combustible que es cremen a raó de 0.1 kg/s,
el combustible s'esgota en 12.04 s.
- Velocitat màxima a què arriba el coet
- Altura a què arriba fins que s'esgota el combustible
- Temps que tarda en arribar a l'altura màxima
0 = 7.56 - 9.8(t - 12.04)
t = 12.8 s
Posició del coet en aquest instant
x = 29.62 + 7.56·0.77 - 4.9·0.772 = 32.5 m
S'introdueix:
- Combustible total en el coet, en el control d'edició Combustible
total en el coet.
- Càrrega útil que transporta, en el control d'edició
Càrrega útil que transporta.
- Combustible cremat per segon, en el control d'edició Combustible
cremat per segon.
Es pitja el botó Comença.
Al costat del coet es dibuixen amb dues fletxes les forces sobre el coet:
en color roig l'empenta i en color blau el pes. L'empenta roman constant,
el pes va disminuint a mesura que es va cremant el combustible.
Si el pes inicial del coet (càrrega útil més combustible)
m0g és major que l'empenta proporcionada
per l'expulsió dels gasos, u·D, el coet crema el combustible sense
enlairar-se, fins el moment que el pes es fa igual o menor que l'empenta.
Una vegada s'enlaira el coet esgota el combustible en l'instant t,
quocient entre la massa del combustible i el combustible cremat per segon.
La velocitat a què arriba el coet quan esgota el combustible s'obté
mitjançant la fórmula
on m0 és la massa del coet en enlairar-se i
t és el temps des que s'enlaira fins que esgota el combustible.
Després, el coet continua ascendient fins que la seua velocitat es fa
zero.
- En la parte dreta de la miniaplicació (applet) es
representa la velocitat del coet en funció del temps.
- En la parte esquerre de la miniaplicació (applet)
observem l'altura del coet en funció del temps.
|
Moviment vertical
d'un coet