Dinàmica

Sistemes de massa
variable

Model discret de 
 coet

Coet d'empenta
constant

Coet de dues etapes

Moviment vertical
d'un coet

Descens del mòdul
lunar

Coet "perfecte"

Flux de sorra

Dipòsit  de sorra
que es mou

El rellotge de sorra

La força que fa
la pressió atmosfèrica

La pluja cau en
un vagó de tren

Una corda llisca
sobre una taula

El coet de Torricelli

Moviment d'una
cadena

Moment lineal

Energia

Desplaçament

Del model discret al continu

Activitats

Referències

Un coet expulsa una fracció m del seu combustible a intervals de temps fixos (per exemple, cada segon), amb una velocitat u respecte del coet. Aquest és un problema semblant al d'un patinador de massa M en una pista de gel que llança repetidament boles de massa m amb velocitat constant u respecte del patinador.

Suposarem que el coet està en l'espai exterior i, per tant, no n'actua cap força exterior. Per a calcular la velocitat del coet a mesura que va expulsant el combustible apliquem el principi de conservació del moment lineal.

El coet té una massa M que inclou la càrrega útil, el combustible i la massa del dipòsit que el conté. Suposarem que el coet expulsa n fraccions de combustible de massa m a intervals fixos de temps, és a dir, en els instants 0, Dt, 2·Dt, ..., (n-1)·Dt, i arriba a les velocitats v₁, v₂, ....v_n, com es mostra en la figura.

Velocitat del coet

1. En l'interval (0-Dt)

En l'instant inicial, t = 0, expulsa una fracció m de combustible amb una velocitat u respecte del coet. El coet perd una massa m i adquireix una velocitat v₁. Si el coet estava inicialment en repòs, el seu moment lineal és zero. Per tant, la suma del moment lineal del coet més el moment lineal del combustible expulsat ha de donar zero.

(M-m)v1+m(-u) = 0

El coet es mourà amb velocitat constant v₁ en l'interval de temps 0-Dt. La fracció m del combustible expulsat es mourà amb velocitat constant –u.

2. En l'interval (Dt-2Dt)

En el instant Dt el coet expulsa una altra fracció m de combustible amb velocitat u respecte del coet o v₁-u respecte de la Terra. El coet perd una altra massa m i adquireix una velocitat v₂.

El moment lineal inicial del coet, (M-m)v₁, és igual al moment final del coet més el de la fracció m del combustible expulsat.

(M-2m)v2+m(v1-u) = (M-m)v1

El coet es mourà amb velocitat constant v₂ en l'interval de temps Dt -2Dt. La fracció m del combustible expulsat es mourà amb velocitat constant v₁-u.

3. En l'interval (2Dt-3Dt)

En l'instant 2Dt el coet expulsa una altra fracció m de combustible amb velocitat u respecte del coet o v₂-u respecte de la Terra. El coet perd una altra massa m i adquireix una velocitat v₃. Aplicant el principi de conservació del moment lineal, aïllem v₃.

(M-3m)v3+m(v2-u) = (M-2m)v2

El coet es mourà amb velocitat constant v₃ en l'interval de temps 2Dt -3Dt. La fracció m del combustible expulsat es mourà amb velocitat constant v₂-u.

4. En l'interval (n-1)Dt-nDt

En l'instant (n-1)Dt el coet expulsa l'última fracció m de combustible amb velocitat u respecte del coet o v_n-1-u respecte de la Terra. El coet perd una altra massa m i adquireix una velocitat v_n

El coet es mourà amb velocitat constant v_n a partir de l'instant t = (n-1)Dt. L'última fracció m del combustible expulsat es mourà amb velocitat constant v_n-1-u.

Moment lineal

En l'interval de temps comprés entre (i-1)·Dt -i·Dt el moment lineal del coet és

P_c= (M - i·m)v_i

El moment lineal del combustible expulsat, com podem comprovar en la primera figura, és

P_g= m(-u) + m(v₁-u) + m(v₂-u) +…+m(v_i-1-u)

La conservació del moment lineal del sistema aïllat format pel coet i el combustible que expulsa exigeix que els dos moments siguen iguals i de sentit contrari, P_c+P_g= 0.

Energia

L'energia final del sistema és la suma de l'energia cinètica del coet E_c, amb velocitat final v_n, i l'energia cinètica E_g de les fraccions de massa m de combustible expulsats amb velocitat (-u), (v₁-u), (v₂-u) … (v_n-1-u), respectivament.

Desplaçament

• El desplaçament en l'interval de temps (0-Dt) és x₁= v₁·Dt
• El desplaçament en l'interval de temps (Dt-2Dt) val x₂=v₂·Dt
• El desplaçament en l'interval de temps (2Dt-3Dt) val x₃= v₃·Dt

El desplaçament total en l'interval de temps (0 - n·Dt) serà

Del model discret al continu

El pas del modelo discret al model continu, que veurem en la pàgina següent, implica incrementar el nombre n de fraccions de combustible de manera que la massa m de cada fracció siga cada vegada més reduïda. En el límit, quan n tendisca a infinit, la massa de cada fracció serà una quantitat infinitesimal dm. Comparem les prediccions del model discret amb les del model continu.

La massa inicial M és la suma de la càrrega útil més el combustible i més la massa del receptacle, que serà proporcional a la massa del combustible que hi conté,

massa inicial  M  = càrrega útil + (1+r)·combustible.

on r és de l'ordre del 5%, o 0.05.

Prendrem l'interval de temps Dt = 1 s de manera que la primera fracció de combustible és expulsat en l'instant t = 0, la segona en l'instant t = 1 s, la tercera en l'instant t = 2 s, i així successivament. El combustible s'esgota en l'instant t = (n-1) s.

Exemple 1

• Combustible en el coet, 9000 kg.
• Càrrega útil que transporta, 800 kg.
• Nombre de fraccions, 3.

La massa inicial del coet és (càrrega útil + combustible + massa del dipòsit):

M = 800 + 1.05·9000 = 10250 kg.

La massa de cada fracció de combustible és m = 9000/3 = 3000 kg, i s'expulsen en els instants t = 0, t = 1, i t = 2 s.

La velocitat amb la qual s'expulsa cadascuna de les fraccions és u = 2000 m/s, constant respecte del coet, i està fixada en el programa interactiu.

Model discret

Les velocitats del coet en els intervals de temps que s'indiquen són

1. El desplaçament del coet en l'interval de (0- 3)s és l'àrea sota la corba esglaonada.

x = 827.6·1 + 2239.3·1 + 7039.3·1 = 10106.3 m.

2. Moment lineal final del coet:

P_c= (10250 - 3·3000)·7039.3 = 8799188.6 kg·m/s

Moment lineal final dels gasos expulsats:

P_g= 3000·(-2000) + 3000·(827.6-2000) + 3000·(2239.3-2000) = -8799188.6 kg·m/s.

3. Energia del coet:

E_c= (10250 - 3·3000)·7039.3²/2 = 3.097·10¹⁰ J

Energia dels gasos expulsats:

E_g= 3000·(-2000)²/2 + 3000·(827.6-2000)²/2 + 3000·(2239.3-2000)²/2 = 8.148·10⁹ J

L'energia total necessària per tal que el coet arribe a la velocitat final de 7039.3 m/s és la suma de les dues contribucions,

E = E_c + E_g= 3.912·10¹⁰ J

Model continu

En la formulació continua es cremen 3000 kg de combustible cada segon, D = 3000 kg/s, i resulta:

• velocitat final, v = 4208 m/s,
• desplaçament en l'interval de temps (0-3)s, x = 4246 m.

Com veiem, hi ha una diferència gran entre les prediccions dels dos models.

Exemple 2

• Combustible en el coet, 9000 kg.
• Càrrega útil que transporta, 800 kg.
• Nombre de fraccions, 9.

La massa inicial del coet és (càrrega útil + combustible + massa del dipòsit):

M = 800 + 1.05·9000 = 10250 kg.

La massa de cada fracció de combustible és m = 9000/9 = 1000 kg, i s'expulsen en els instants t = 0, t = 1, ... t = 8 s.

La velocitat d'expulsió de cadascuna de les fraccions és de u = 2000 m/s respecte del coet, i està fixada en el programa interactiu.

Model discret

Les velocitats del coet en els intervals de temps que s'indiquen són

1. El desplaçament total del coet en l'interval (0-9) s és x = 16747.4 m.

2. El moment lineal final del coet és P_c= 6262895.8 kg·m/s.

El moment lineal final del combustible expulsat és P_g= -6262895.8 kg·m/s.

3. L'energia cinètica del coet és E_c=1.57·10¹⁰ J.

L'energia cinètica del combustible expulsat és E_g= 7.32 10⁹ J.

L'energia total és E = E_c + E_g = 2.30·10¹⁰ J.

Model continu

En la formulació continua es cremen 1000 kg de combustible cada segon, D = 1000 kg/s, i resulta:

• velocitat final, v = 4208 m/s,
• desplaçament en l'interval de temps (0-9)s, x = 12740 m.

Els resultats del model discret van apropant-se als del model continu.

Fixeu-vos que en el model continu la velocitat final del coet és independent de D, la quantitat de combustible cremat per unitat de temps.

Activitats

S'introdueix:

• El combustible, c, en el control d'edició Combustible en el coet.
• La càrrega útil que transporta, en el control d'edició Càrrega útil que transporta.
• El nombre n de fraccions de combustible de massa m = c/n que s'expulsen a intervals regulars de temps, en el control d'edició Nombre de fraccions.
• La velocitat d'expulsió de cadascuna de les fraccions s'ha fixat en u = 2000 m/s respecte del coet.

Es pitja el botó Comença.

En la part inferior de la miniaplicació (applet) veiem el moviment del coet, en color blau, i el moviment de les fraccions de combustible expulsades (en color roig).

En la part superior esquerre tenim un conjunt de tres barres:

• La primera assenyala el tant per cent de combustible (en color blau) gastat.
   
• La segona representa el moment lineal del coet (blau) i el moment lineal dels gasos expulsats (en roig); els dos moments són iguals i de sentit contrari, de manera que el moment lineal total és zero.
   
• La tercera barra representa l'energia: la longitud total de la barra és l'energia total disponible, la part blava correspon a l'energia cinètica del coet, i la part roja és l'energia cinètica de les fraccions de combustible expulsades.

Finalment, tenim la representació de la velocitat del coet en funció del temps. En color roig, la corba contínua descriu el perfil de la velocitat del coet calculada seguint el model continu. En color blau tenim una corba esglaonada que representa el perfil de la velocitat del coet calculada seguint el model discret descrit en aquesta pàgina.

Proveu amb diversos valors del nombre de fraccions, per exemple n = 3, i comparue-ho amb n = 9. Veurem com a mesura que s'incrementa n les prediccions del model discret s'apropen a les del model continu.