Dinàmica |
Col·lisions Carro que dispara un projectil Caiguda lliure i rebots successius Bola que rebota sobre un pistó Xocs frontals Xocs frontals elàstics Xocs frontals verticals
Pèndol balístic No es conserva el moment lineal Xoc entre una partícula i un bloc unit a una molla Xocs bidimen- sionals Conservació del moment lineal |
Xoc inelàstic | |
|
Considerem un sistema aïllat format per una bala i un bloc de forma rectangular. La bala es dispara horitzontalment contra una de les cares del bloc al llarg de la línia que passa pel seu centre de masses, penetra en el bloc una determinada distància fins que els dos adquireixen la mateixa velocitat. L'aplicació del principi de conservació del moment lineal no explica el mecanisme pel qual la bala en disminueix la velocitat i la del bloc n'augmenta i tampoc la diferència d'energia cinètica inicial i final.
En aquesta pàgina estudiarem un model simple que describe el comportament de la bala i del bloc durant el transcurs del xoc inelàstic.
Xoc inelàstic
M és la massa del bloc inicialment en repòs, m la massa de la bala. Apliquem el principi de conservació del moment lineal a aquest sistema aïllat per a obtenir la velocitat vf immediatament després del xoc del conjunt bala-bloc en funció de la velocitat v0 de la bala abans del xoc, mv0= (m+M)vf A continuació es fa el balanç energètic de la col·lisió. La variació d'energia cinètica és
Xoc inelàstic de durada finitaMitjançant un model simple d'interacció entre la bala i el bloc explicarem com la bala disminueix de velocitat i augmenta la del bloc fins que les dues s'igualen. També explicarem l'origen de la diferència d'energia cinètica. A mesura que la bala penetra en el bloc, la bala fa una força F, que suposarem constant, sobre el bloc i el seu efecte serà el d'incrementar-ne la velocitat. Al mateix temps el bloc farà una força F igual i oposada sobre la bala, l'efecte de la qual serà el de disminuir-ne la velocitat. El xoc es completarà quan la velocitat de la bala s'iguale a la del bloc. Hem d'estudiar la dinàmica d'un sistema aïllat format per dues partícules que interaccionen entre si. La interacció es descriu en termes d'una força constant F.
Velocitats abans i després del xoc
Com que el sistema format per la bala i el bloc és aïllat, el moment lineal total o la velocitat del seu centre de masses vcm roman constant i igual a la seua velocitat inicial, com podem comprovar,
El xoc finalitza quan la velocitat v de la bala s'iguala a la velocitat V del bloc, és a dir, en l'instant tc, mesurat des del moment que la bala penetra en el bloc, v0 - F·tc/m = F·tc/M Aïllem el temps tc
La velocitat final del bloc Vf i de la bala vf en aquest instante és
que és, també, la velocitat del centre de masses del sistema aïllat, i és independent del valor de la força F. Desplaçaments de la bala i del bloc
Si la bala i la cara anterior del bloc estan en l'origen en el moment que la bala entra en contacte amb el bloc, al cap d'un temps determinat t < tc, la posició de la bala x i la posició del bloc X seran, respectivament,
En l'instant tc en el qual finalitza el xoc, la bala haurà penetrat una distància xc-Xc en l'interior del bloc. Treball de la força interior i variació d'energia cinèticaEl treball fet per la força F serà
El signe menys es deu a que la força F sobre la bala és de sentit contrari al seu desplaçament. La força interior F fa un treball que modifica l'energia cinètica de les partícules del sistema,
No es completa el xocSi el bloc té una longitud L i la força F no és suficientment intensa pot ocórrer que la bala no quede empotrada en el bloc sinó que isca per la cara oposada amb velocitat vf.
Si la distància xc-Xc que penetra la bala en el bloc en l'instant tc és major que la seua longitud L la bala eixirà per la cara oposada. Calculem el temps t que tarda la bala en penetrar la distància L = x-X com a solució de l'equació de segon grau
Per a calcular la velocitat final de la bala vf emprarem la relació entre la velocitat final vf, la velocitat inicial v0 i el desplaçament x de la partícula,
Emprarem una relació semblant per a calcular la velocitat Vf del bloc quan la bala ix per la cara oposada,
La variació d'energia cinètica de les partícules és
El treball que fa la força F serà W = -F·L La força interior F fa un treball –FL que modifica l'energia cinètica de les partícules del sistema.
ActivitatsS'introdueix:
Es pita el botó Comença. S'observa el moviment de la bala, com va penetrant en el bloc al temps que en disminueix la velocitat i n'augmenta la del bloc. En la parte esquerre de la miniaplicació (applet) observem els canvis energètics:
Exemple 1
Es pitja el botó Comença. La bala i el bloc arriben a la mateixa velocitat en l'instant tc
El desplaçament de la bala i del bloc és
La bala ha penetrat en el bloc una distància d = xc-Xc = 0.71 m La velocitat final del conjunt bala-bloc és
Conegudes les velocitats inicials i finals de les partícules calculem la diferència d'energia cinètica ΔE = -14.3 J, que té el mateix valor que el treball que fa la força d'interacció F, ΔE = -F(xc-Xc) = -20·0.71 = -14.3 J. Exemple 2
Observem que la bala penetra el bloc i ix per l'extrem oposat en l'instante t que es calcula resolent l'equació de segon grau
Una de les arrels és t = 0.175 s. En aquest instant la velocitat de la bala i la del bloc són, respectivament,
La posició del bloc serà
i la de la bala serà x = X + 1.0 = 1.21 m. Conegudes les velocitats inicials i finals de les partícules calculem la diferència d'energia cinètica ΔE = -14. J que té el mateix valor que el treball que fa la força d'interacció F ΔE = -FL = -14·1 = -14 J.
|
Donnelly D, Diamond J. Slow collisions in the ballistic pendulum: A computational study. Am. J. Phys. 71 (6) June 2003, 535-540.
Xoc inelàstic
de durada finita
