Dinàmica

Col·lisions

Carro que dispara
un projectil

Caiguda lliure i
rebots successius

Bola que rebota
sobre un pistó

Xocs frontals

Xocs frontals
elàstics

Xocs frontals
verticals

Xoc inelàstic
de durada finita

Pèndol balístic

No és conserva el
 moment lineal

Xoc entre una
partícula i un bloc
unit a una molla

Xocs bidimen-
sionals

Conservació del
moment lineal

Xoc inelàstic de durada finita

Conclusions

Activitats

Referències

En la pàgina “Un xoc inelàstic de durada finita” hem examinat un model simplificat que explica què ocorre en el petit interval de temps que dura un xoc inelàstic entre una bala i un bloc. La bala disminueix la velocitat i n'augmenta la del bloc fins que els dos adquireixen la mateix velocitat; en aquest instant el xoc finalitza.

Vam estudiar el comportament d'un sistema aïllat format per dues partícules (la bala i el bloc) que interactuaven mitjançant una força interna de valor constant que s'oposava al moviment de la bala, però que afavoria el moviment del bloc.

En la pàgina "Pèndol balístic" vam estudiar el xoc instantani entre una bala i un bloc, i vam aplicar el principi de conservació del moment lineal per a obtenir la velocitat, immediatament després del xoc, del conjunt format per la bala i el bloc.

En aquesta pàgina estudiarem el mateix sistema format per un bloc i una bala; el bloc està subjecte pels dos extrems mitjançant dues varetes de massa negligible. Si el xoc és instantani les forces exteriors s'anul·len en el moment del xoc; però si és de durada finita, les forces exteriors no s'anul·len i, per tant, no es pot aplicar el principi de conservació del moment lineal.

Coc inelàstic instantani

Si el xoc és instantani el bloc no s'haurà desplaçat de la posició vertical inicial; les forces exteriors: el pes (m+M)g i la tensió de la corda T s'anul·len. El sistema és aïllat i es pot aplicar el principi de conservació del moment lineal en el moment del xoc.

En el moment del xoc

Siga M la massa del bloc inicialment en repòs i m la massa de la bala, la velocitat de la qual immediatament abans del xoc és v₀. La velocitat final v_f del conjunt bala-bloc immediatament després del xoc és

mv₀= (m+M)v_f

A continuació fem el balanç energètic de la col·lisió. La variació d'energia cinètica és

Moviment després del xoc

Una vegada el conjunt bala-bloc ha adquirit la velocitat v_f, es desvia de la posició d'equilibri, i fa un angle θ, al cap d'un temps t, com s'indica en la figura. Suposarem que el bloc i la bala són masses puntuals.

Descompondrem les forces que actuen sobre el sistema al llarg de la direcció radial i al llarg de la direcció tangencial.

• L'equació del moviment al llarg de la direcció radial és

(m+M)a_n= T - (M+m)g·cosθ

on a_n és la component normal de l'acceleració, a_n = v²/R, i R és la longitud del pèndol.

Apliquem el principi de conservació de l'energia i calculem la velocitat v quan el pèndol s'ha desviat un angle θ després del xoc,

Coneguda v es calcula la tensió T de la corda,

L'angle màxim θ_m< 90º que es desvia el pèndol es calcula posant v = 0 en l'equació de la conservació de l'energia,

• L'equació del moviment al llarg de la direcció tangencial és

(m+M)a_t = -(M+m)g·sinθ

on a_t és la component tangencial de l'acceleració, a_t = αR.

L'equació diferencial del moviment del pèndol és

amb les condicions inicials t = 0, θ = 0, dθ/dt = v_f/R.

Es resol l'equació diferencial per procediments numèrics i s'obté la posició θ i la velocitat R·dθ/dt en funció del temps t.

Exemple

En el programa interactiu de la pàgina anterior introduïm les dades següents:

• massa del bloc M = 1.5 kg

• massa de la bala m = 0.2 kg

• velocitat de la bala v₀= 10 m/s

• longitud del pèndol R = 0.5 m

Velocitat del conjunt bloc-bala després del xoc

0.2·10 = (1.5+0.2)·v_f          v_f = 1.18 m/s

L'angle màxim que es desvia el pèndol després del xoc és

Xoc inelàstic de durada finita

Considerem el sistema format per una bala de massa m i un bloc de massa M,  de forma rectangular, de longitud L, subjecte pels extrems mitjançant dues varetes rígides de massa negligible, com es muestra en la figura.

La bala es dispara horitzontalment amb velocitat v₀ contra una de les cares del bloc al llarg de la línia que passa pel seu centre de masses (c.m.), penetra en el bloc una determinada distància fins que els dos adquireixen la mateixa velocitat. A mesura que la bala va penetrant en el bloc el c.m. del bloc descriu un movimiento circular de radi R.

Les forces que actuen sobre aquest sistema format per la bala i el bloc són internes (en color blau)  i externes (en color roig), i les dibuixem sobre cadascun dels cossos.

1. Sobre la bala (a l'esquerra de la figura) actuen

• La força exterior, que és el seu pes, mg

• Una força interior de fregament, F, en direcció oposada a la velocitat de la bala relativa al bloc.

• Una força interior, N, que obliga la bala a moure's al llarg de l'eix del bloc, en el sistema de referència lligat al bloc. La força N fa que el moviment vertical de la bala siga el mateix que el moviment del c.m.del bloc.

2. Sobre el bloc (en el centre i dreta de la figura) actuen les forces següents:

• La força exterior Mg, que és el pes del bloc i que actua en el seu c.m.

• Les forces T₁ i T₂ que són paral·leles i del mateix sentit, que fan les varetes que subjecten el bloc, i que podem substituir per una única força T = T₁+T₂ en la mateixa direcció i sentit, aplicada en el c.m.del bloc.

• Les forces interiors F i N obeeixen la tercera llei de Newton, com es mostra en la figura; tenen el mateix mòdul i la mateixa direcció però sentit contrari a les dibuixades sobre la bala.

Una vegada dibuixades les forces, escriurem les equacions del moviment de la bala i del c.m.del bloc; per a tal fi establirem un sistema d'eixos com s'indica en la part dreta de la figura.

Moviment de la bala

La bala es mou al llarg de l'eix X, sota l'acció de la força que suposarem constant, F, que s'oposa al seu moviment,

v_x = v₀ - F·t/m
x = v₀t - ½F·t²/m

La component Y de la velocitat de la bala és la mateixa que la component Y de la velocitat del c.m.del bloc, v_y= V_y

Moviment del bloc

Les equacions del moviment del c.m.del bloc al llarg de l'eix X i de l'eix Y són, respectivament,

Tenim tres equacions que combinarem per a eliminar les forces desconegudes N i T. Sumem la primera i la tercera per a eliminar N,

Entres aquestes dues eliminem T,

i obtenim l'equació del moviment del bloc.

Volem arribar a una equació que ens permeta calcular el desplaçament angular θ del c.m.del bloc en funció del temps t.

Com veiem en la figura, la velocitat V del c.m del bloc és tangent a la seua trajectòria circular de radi R. Les components de la velocitat, Vx i Vy són Vx=V·cos θ Vy=V·sin θ

i les seues derivades respecte del temps t

De la relació entre magnituds lineals i angulars tenim que V = R·dθ/dt

Tornem a l'equació del moviment i substituïm les derivades de les components de la velocitat del c.m. del bloc per les seues expressions en terme de l'angle θ i les seues derivades respecte del temps. Fem algunes operacions i arribem a l'equació diferencial de segon ordre següent:

Donat el valor de la força interna F resolem aquesta equació diferencial per procediments numèrics amb les condicions inicials t = 0, θ = 0, dθ/dt = 0.

Final del xoc

Finalitza el xoc en l'instant t_c que la component al llarg de l'eix X de la velocitat del c.m. V_x= V_c·cosθ_c coincideix amb la component X de la velocitat de la bala v_x= v₀ - F·t_c/m

V_c·cosθ_c = v₀ - F·t_c/m

on θ_c és el desplaçament angular del c.m. del bloc en l'instant t_c i V_c la velocitat del c.m.del bloc en aquest instant.

Ja hem esmentat que les components Y coincideixen en tot moment V_y= v_y.

Moviment després del xoc

Una vegada ha finalitzat el xoc, el bloc i la bala es mouen com un sol cos de massa (m+M) sota l'acció del seu pes i de la tensió de les cordes. El c.m. del sistema es mou d'acord amb l'equació diferencial deduïda en el primer apartat,

amb les condicions inicials t = 0, θ = θ_c, dθ/dt = V_c/R.

Coneguda la velocitat Vc i el desplaçament angular θc del sistema format pel bloc i la bala en l'instant tc que acaba el xoc, podem determinar sense resoldre l'equació diferencial el desplaçament màxim θm si apliquem el principi de conservació de l'energia.

Conclusions

S'ha descrit un xoc inelàstic entre una bala i un bloc. En el cas que el xoc siga instantani, es pot aplicar el principi de conservació del moment lineal, ja que les forces exteriors que actuen sobre el sistema s'anul·len. En el caso que el xoc siga de durada finita, les fores exteriors que actuen sobre el sistema de partícules no s'anul·len durant l'interval de temps que dura el xoc, raó per la qual no es pot aplicar el principi de conservació del moment lineal.

Cal esperar que com més curta siga la durada del xoc, és a dir, més gran siga la força interna F de frenada que fa el bloc sobre la bala, els resultats de les dues descripcions seran cada vegada més pareguts. En el límit, quan F tendeix a infinit, tindrem un xoc instantani, i obtindrem els resultats que prediu el principi de conservació del moment lineal.

El programa interactiu resol les equacions del moviment emprant procediments numèrics. A més de les imprecisions pròpies dels procediments numèrics s'ha d'afegir una dificultat més en la resolució de les equacions del moviment. Com major siga la força F més curta és la durada del xoc, i el pas d'integració s'ha de fer més petit per tal que els resultats siguen fiables.

Activitats

S'introdueix:

• La massa m de la bala, en kg, en el control d'edició massa bala

• La velocitat v₀ de la bala, en m/s, en el control d'edició velocitat bala

• La força F, en newton, d'interacció entre el bloc i la bala, movent el dit en la barra de desplaçament Força

• La massa del bloc està fixada en el valor M = 1kg

• La longitud del bloc s'ha fixat en el valor L = 1 m

• La longitud de les varetes que subjecten el bloc s'ha fixat en R = 1 m

Es pitja el botó Comença.

Es mou la bala, un petit cercle de color roig, cap a una de les cares del bloc. Quan la bala toca el bloc s'observa:

• El moviment de la bala penetrant el bloc

• La força interna F que actua sobre la bala i sobre el c.m. del bloc

En la part dreta de la miniaplicació (applet) es proporcionen les dades següents:

• El temps mesurat des del moment que la bala entra en contacte amb el bloc

En color blau:

• El desplaçament angular θ del c.m.del bloc (angle que formen les dues varetes amb la vertical)

• La velocitat V del c.m. del bloc

En color roig:

• La component X de la velocitat de la bala v_x= v₀ - F·t/m

• La componente X de la velocitat del bloc V_x = V·cos θ

Observarem que la component X de la velocitat de la bala disminueix i augmenta la component X de la velocitat del bloc. Emprarem la combinació de botons Pausa/Continua i Pas per a apropar-nos al moment que acaba el xoc, quan les dues velocitats (en color roig) prenen el mateix valor. Anotarem:

• el temps t_c

• la desviació θ_c del bloc (en color blau)

• la velocitat del bloc V_c (en color blau)

Comparem la velocitat V_c amb la velocitat v_f que s'obté de l'aplicació del principi de conservació del moment lineal (xoc instantani),

Pitgem el botó Continua per tal que el sistema continue el moviment fins que arribe al desplaçament màxim.

Ens fixem que la bala i el bloc es mouen amb la mateixa velocitat (en color roig).

El programa es deté quan el sistema format pel bloc i la bala arriba al desplaçament màxim, la velocitat V es fa zero (en color blau). Suggerim al lector que compare els desplaçaments màxims que s'obtenen mitjançant el model de xoc instantani i mitjançant el model de xoc de durada finita.

Exemple

Introduïm els valors següents:

• massa de la bala m = 0.4 kg

• velocitat de la bala v₀= 10 m/s

• força d'interacció F = 20 N

Es pitja el botó Comença.

Xoc instantani

Apliquem el principi de conservació del momento lineal i obtenim la velocitat del conjunt bloc-bala després del xoc,

0.4·10 = (1+0.4)·v_f       v_f = 2.86 m/s

Apliquem el principi de conservació de l'energia i obtenim l'angle màxim que es desvia el pèndol balístic després del xoc,

Xoc de durada finita

Observem els valors de les components X de les velocitats de la bala v_x i del bloc V_x (en color roig). Quan aquestes components són iguals finalitza el xoc, despareixen les fletxes que assenyalen la força interna F que fa disminuir la velocitat de la bala i augmentar la del bloc.

• El xoc transcorre durant un temps t_c= 0.147 s.

• La velocitat del bloc en aquest instant és V_c= 2.75 m/s,

• L'angle que s'han desviat les varetes de la vertical és θ_c=11.92º.

Després del xoc, t > t_c, les velocitats de la bala i del bloc són les mateixes.

Aplicant el principi de conservació de l'energia podem calcular la desviació màxima θ_m del conjunt format pel bloc i la bala després del xoc,

Exemple 2

• Massa de la bala, m = 0.4 kg

• velocitat de la bala, v₀= 10 m/s

• força d'interacció F = 90 N

S'obtenen els resultats següents:

• la durada del xoc disminueix a t_c= 0.032 s

• el desplaçament del bloc és petit, θ_c= 2.6º

• el conjunt bloc-bala arriba a una  velocitat V_c=2.85 m/s molt pareguda a la que s'obté aplicant el principi de conservació del moment lineal

• la desviació màxima a la qual arriba després del xoc és θ_m= 54.3º, un valor semblant al calculat emprant l'aproximació de xoc instantani.