Dinàmica

Sistemes de partícules

Dinàmica d'un
sistema de partícules

Sistemes aïllats

Un bloc llisca
sobre una falca mòbil

El problema de dos
cossos

Moviment del c.m.
i de les partícules (I)

Moviment del c.m.
i de les partícules (II)

Un model de saltador

Activitats

Referències

En aquesta pàgina i les dues següents s'estudia un sistema format per dues partícules unides per un molla elástica que tractarà d'ajudar a reconéixer:

• Quines són les forces interiors o d'interacció entre les partícules del sistema
• Quines són les forces exteriors que actuen sobre cadascuna de les partícules
• Quines forces determinen el moviment de cadascuna de les partícules
• Quines forces determinen el moviment del c.m. del sistema de partícules

Veurem que el moviment de cada partícula està determinat per l'acció de les forces exteriors al sistema, i de les forces d'interacció de les altres partícules del sistema, sobre la partícula considerada.

Combinarem les dues equacions del moviment per a obtenir:

• l'equació del moviment del centre de masses del sistema de partícules que es mou com si fóra una partícula de massa igual a la massa total del sistema sota l'acció de la resultant de les forces exteriors aplicades al sistema
• el moviment relatiu de les dues partícules depén tan sols de les forces interiors o d'interacció entre les dues partícules

Aquestes dues equacions són fácilment integrables i ens permeten obtenir la posició i la velocitat de cadascuna de les partícules en funció del temps.

Altres aspectes interessants que es podran estudiar són:

• El principi de conservació de l'energia aplicat a un sistema de partícules
• La relació entre impuls de les forces exteriors i variació del momento lineal del sistema

Descripció

Considerem un sistema simple de partícules consistent en un molla en posició vertical que té una massa M en l'extrem superior i una massa m en l'extrem inferior. Se suposa que la massa de la molla és negligible. Inicialment la molla, de constant k, està en equilibri subjecta per la massa M, com es mostra en la figura.

Situació inicial

Si l és la longitud del molla sense deformar, quan es penja del seu extrem inferior una massa m, la longitud de la molla s'incrementa en d: mg = kd Per a analitzar el problema establirem l'origen en la posició inicial de la partícula de massa M, i considerarem positives les distàncias mesurades en sentit descendent.

Equació del moviment de cadascuna de les partícules

Quan s'allibera la molla, al cap d'un temps t, la posició de la massa inferiorm és x i el de la massa superior M és y. Apliquem les lleis de la dinàmica a cadascuna de les partícules i calculem les seues posicions x i y en funció del temps t.

La deformació de la molla en l'instant t és l - (x-y) i la força que fa la molla sobre cadascuna de les partícules és F = k·(l-x+y).

• Quan la molla està comprimit, l > (x-y), la força F = k(l-x+y) és positiva (figura de l'esquerra).
• Quan la molla està estirat, l < (x-y), la força F = k(l-x+y) és negativa (figura de la dreta)

Moviment de la partícula de massa m

Condicions inicials: per a t = 0 la seua velocitat inicial és zero, dx/dt = 0, i està en x = l+d.

Condicions inicials: per a t = 0, la seua velocitat inicial és zero, dy/dt = 0, i està en l'origen, y = 0.

• Moviment del centre de massa del sistema de dues partícules

La posició del centre de masses del sistema de dues partícules és

Sumem membre a membre les dues equacions diferencials i arribem a l'equació del moviment del c.m. del sistema

El centre de masses d'un sistema de partícules es mou com si fóra una partícula de massa igual a la massa total del sistema sota l'acció de la resultant de les forces exteriors aplicades al sistema.

Les condicions inicials són: en l'instant t = 0 la velocitat inicial del c.m. és zero i està en z₀; quan la molla estava subjecta per la parte superior, x = l+d, y = 0,

L'acceleració del centre de masses és constant i igual a g. La posició del centre de masses en funció del temps será

• Moviment relatiu de les dues partícules

Multiplicant la primera equació del moviment per M, la segona per m obtenim en restar

Aqusta darrera equació ens diu que el moviment relatiu de les dues partícules és equivalent al moviment d'una partícula de massa reduïda μ sota l'acció de la força que descriu la interacció mútua, F = k(l-x+y).

Fem el canvi de variable ξ = x-y i obtenim l'equació diferencial

La solució d'aquesta equació diferencial és

Les constants A i B es determinen a partir de les condicions inicials.

En l'instant t = 0 la posició relativa és ξ = x-y = l+d i la velocitat relativa és zero, dξ/dt = 0; d =mg/k és la deformació inicial de la molla; resulta,

ξ = l+d·cos(ωt)

Moviment de cadascuna de les partícules

Coneguda l'equació del moviment del centre de masses i l'equació del moviment relatiu de les dues partícules, determinem el moviment de cadascuna de les partícules,

Aïllem x i y del sistema de dues equacions,

Com podem comprovar, en l'instant t = 0 les posicions inicials de les partícules són x = l+mg/k,  y = 0.

Les velocitats de les partícules s'obtenen derivant x i y respecte del temps,

En l'instant t = 0 les partícules estan en repòs.

Energies

Comproveu que el treball de les forces exteriors (el pes) s'inverteix en modificar l'energia del sistema de partícules, W_ext= U_f - U_i, o bé

W_ext= ΔE_k+ ΔE_p

• Variació d'energia cinètica, ΔE_k

Com que les partícules estan inicialment en repòs, la variació d'energia cinètica del sistema format per les dues partícules és igual a l'energia cinètica final,

• Variació d'energia potencial, ΔE_p

• En la situació inicial la molla està deformada una longitud d

• En la situació final, la deformació de la molla és l-x+y

La variació d'energia potencial és

• El treball de la força exterior, W_ext

El treball és el producte de la força (m+M)g  pel desplaçament del c.m., z-z₀,

Si tenim en compte que sin²(ωt) + cos²(ωt) = 1, veiem que es compleix l'equació que descriu el balanç energètic per al sistema format per dues partícules unides per un molla elàstica.

Levitació de la partícula inferior

Podem observar que en els primers instants del moviment la partícula superior (de color blau) i el centre de massa (de color negre) es desplacen, però la partícula inferior (de color roig) a penes canvia de posició; sembla estar suspesa durant uns instants en l'aire, com es pot observar en la figura i en la miniaplicació (applet).

En l'equació que dóna la posició x de la partícula inferior suposem que wt és petit, cos(wt) ≈ 1,

x ≈ l + mg/k = l+d

La posició de la partícula inferior canvia molt poc en els primers instants del moviment. En la gràfica de la posició x en funció del temps t, a la dreta en la miniaplicació (applet), observem un petit segment horitzontal de color roig.

Activitats

S'introdueix:

• La massa M de la partícula superior, en el control d'edició Massa superior
• La massa m de la partícula inferior, en el control d'edició Massa inferior
• La constante k de la molla elàstica, en el control d'edició Constant molla
• La longitud de la molla sense deformar s'ha fixat en el programa en  l = 1 m

Es pitja el botó Comença.

Observem el moviment de cadascuna de les dues partícules i el del centre de massa del sistema (en color negre). A la dreta es representa la seua posició (altura) en funció del temps t.

El programa verifica les dades que introdueix l'usuari, de manera que la deformació màxima de la molla no puga ser major que la seua longitud inicial, l.

Exemple

S'introdueix:

• m = 4 kg
• M = 1 kg
• k = 50 N/m
• La longitud inicial de la molla sense deformar és l = 1.0 m

Calculeu les posicions de les partícules i la del centre de massa en l'instant t = 1 s.

Les posicions de les partícules són

Coneguda la posició de les partícules de masses m = 4 kg i M = 1 kg calculem la posició del c.m.

La posició inicial del centre de massa és

La posició del c.m. en l'instant t = 1 és